巴戦の勝率について

相撲の優勝決定戦で、相星が3人以上いる場合、そのうちの誰かが2連勝するまで対戦する。
この対戦形式を「巴戦」と呼ぶが、このとき、3人の力士の力量が全くの互角であるとした場合、
最初に対戦する2人と待機する1人を比較すると、果たして勝率は公平なのか検証してみることにする。

巴戦に関する問題は、大学の入学試験の問題としても出題されることが多いが、
煩雑な解法が模範解答になっていることが多いので、
ここでは、奇を衒わずに、最も簡素な解法のみを示す。

巴戦は公平なのか？

最初に対戦する2人をAとB、待機する1人をCとし、勝者を記載していくことにする。
2回戦で決着する場合、AAとBBの2通りであり、いずれも確率は、
(1/2)²＝1/4
となる。これは、最初に対戦する者が2連勝して、最速で優勝者が決定される場合である。

次に、3回戦で決着する場合を考える。
条件を満たすのは、ACCとBCCの2通りであり、いずれも確率は、
(1/2)³＝1/8
となる。即ち、3回戦でCが優勝する確率は、
1/8＋1/8＝1/4
である。このように、最初に待機する者が優勝者となるのは、
3回戦、6回戦、9回戦、･･･の様に、3の倍数の時のみである。

続いて、4回戦で決着する場合を考える。
条件を満たすのは、ACBBとBCAAの2通りであり、いずれも確率は、
(1/2)⁴＝1/16
となる。これは、最初に対戦する2人のうち負けた方が、敗者復活戦を制した場合である。

同様に、5回戦で決着する場合を考える。
条件を満たすのは、ACBAAとBCABBの2通りであり、いずれも確率は、
(1/2)⁵＝1/32
となる。これは、最初に対戦する2人のうちの勝者が、
待機していた者に負けた後、最終的に優勝する場合である。

最後に、6回戦で決着する場合を考える。
条件を満たすのは、ACBACCとBCABCCの2通りであり、いずれも確率は、
(1/2)⁶＝1/64
となる。即ち、6回戦でCが優勝する確率は、
1/64＋1/64＝1/32
である。勿論、7回戦、8回戦、9回戦、･･･の様に、
繰り返される場合も考えられるが、ここまで考えれば、
そろそろ、優勝者とその確率について、規則性に気付くだろう。

Cが優勝するのは、3回戦、6回戦、9回戦、･･･の様に、
3の倍数の時のみであるから、それぞれの場合の優勝確率は、
初項a＝1/4、公比r＝1/8の無限等比級数となる。
従って、Cが優勝する確率は、無限等比級数の和：
a/(1－r)＝(1/4)/{1－(1/8)}＝(1/4)/(7/8)＝2/7
であり、AとBは、
{1－(2/7)}/2＝5/14
という結果が得られる。

従って、3人の力士の力量が全くの互角である場合、
最初に対戦する2人よりも待機する1人の方が
「不利」という結論が得られることになる。
これは、最初に対戦する2人は、最初の対戦で負けても、
最初に待機していた者が勝てば、再び対戦できるのに対し、
最初に待機する者は、最初の対戦で負けた時点で、
相手の優勝が決まってしまうためである。

巴戦が公平になるためには

最初に対戦するAとBの2人に対し、待機するCが「少し強いぐらい」であれば、
優勝決定戦が巴戦の形式であったとしても、不利にならないかもしれない。
では、AとBの2人がCに対し、どのぐらいの勝率であれば、巴戦が公平になるであろうか。

A或いはBから見た、Cに対する勝率をp、Cから見た、
A或いはBに対する勝率をq ≡ 1－p（p < q）とする。
2回戦で決着する場合、AAとBBの2通りであり、
いずれも確率は、 p/2 となる。

次に、3回戦で決着する場合を考える。
条件を満たすのは、ACCとBCCの2通りであり、
いずれも確率は、 q²/2 となる。
即ち、3回戦でCが優勝する確率は、 q² である。

続いて、4回戦で決着する場合を考える。
条件を満たすのは、ACBBとBCAAの2通りであり、
いずれも確率は、 (1/2)・q・p・(1/2)＝pq/4 となる。

同様に、5回戦で決着する場合を考える。
条件を満たすのは、ACBAAとBCABBの2通りであり、
いずれも確率は、 (1/2)・q・p・(1/2)・p＝p²q/4
となる。

最後に、6回戦で決着する場合を考える。
条件を満たすのは、ACBACCとBCABCCの2通りであり、
いずれも確率は、 (1/2)・q・p・(1/2)・q²＝pq³/4
となる。即ち、6回戦でCが優勝する確率は、
pq³/4＋pq³/4＝pq³/2
である。

Cが優勝するのは、3回戦、6回戦、9回戦、･･･の様に、
3の倍数の時のみであるから、それぞれの場合の優勝確率は、
初項a＝q²、公比r＝pq/2の無限等比級数となる。
従って、Cが優勝する確率は、無限等比級数の和の式より、
a/(1－r)＝q²/(1－pq/2) ＝2q²/(2－pq)＝1/3
で与えられる。これに両辺の分母を掛けて、
6q²＝2－pq
の様に分数を含まない式に変形し、更に、定義：q ≡ 1－pより、
p＝1－qを代入して、pを消去すると、
6q²＝2－pq ＝2－(1－q)q＝2－q＋q²
⇔5q²＋q－2＝0
という二次方程式が得られるので、解の公式より、
q＝{－1±√(1＋40)}/10
q>0より、q＝{－1＋√(41)}/10
ここで、64²＝4096 ≒ 4100より、√(41) ≒ 6.4
と近似すると、q ≒ (－1＋6.4)/10＝5.4/10＝0.54
従って、p＝1－q＝1－0.54＝0.46

結論としては、優勝決定戦が巴戦の形式であったとしても、
最初に対戦するAとBの2人に対し、待機するCが不利にならないためには、
CがAとBの2人より、「少し強いぐらい」であればよい。では、具体的には、
どのぐらいの勝率であれば、巴戦が公平になるかといえば、
CがA、或いはBよりも、8％程度勝率が高ければよい。

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