ベルヌーイ数の応用―テイラー展開―

「冪級数同士の積とテイラー展開」では、
f(x)=tanxf(x)=cotxf(x)=tanhxf(x)=cothx
に関して、そのテイラー展開の結果を示したが、ここでは、
「ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式」で定義した、 ベルヌーイ数を用いることで、
それらのテイラー展開がより簡潔に表示できることを示す。


偶数番目のベルヌーイ数の母関数

まず、偶数番目のベルヌーイ数の母関数を考える。ベルヌーイ数には、
B1を除き、奇数番目のべルヌーイ数は0であるという性質があるから、
全体の母関数からB1t の項を引けばよい。
「ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式」において、
ベルヌーイ数には2通りの定義が存在することを述べたが、定義1の場合、

であり、定義2の場合、

であるから、双方共に同様の結果を得る。従って、

となることが示された。


f(x)=cothxのテイラー展開

次に、双曲線余接関数cothxの定義より、

となる。但し、最後の式変形では、分子及び分母にexを掛けた。
ところで、偶数番目のベルヌーイ数の母関数において、t=2xとすると、

となるので、両辺をxで割って、f(x)=cothxのテイラー展開:

を得る。


f(x)=tanhxのテイラー展開

続いて、双曲線関数の加法定理:

において、前者を後者で割れば、

となる。但し、最後の式変形では、
分子及び分母をcoshαcoshβで割った。
ここで、αβxとして、2倍角の定理:

を得る。その逆数をとって、

と導かれる。従って、f(x)=tanhxのテイラー展開:

を得る。


f(x)=cotxのテイラー展開

更に、双曲線関数と三角関数との関係より、

と導かれる。従って、f(x)=cotxのテイラー展開:

を得る。


f(x)=tanxのテイラー展開

最後に、正接関数tanxのテイラー展開を導出する。
三角関数の加法定理より、

となる。但し、最後の式変形では、
分子及び分母をcosαcosβで割った。
ここで、αβxとして、2倍角の定理:

を得る。その逆数をとって、

と導かれる。従って、f(x)=tanxのテイラー展開:

を得る。

また、別解として、双曲線正接関数tanhx
テイラー展開から導く方法でも導出できることを示す。
双曲線関数と三角関数との関係を用いて、

と導かれる。これは確かに先程導いた式と一致している。


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