ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式

ベルヌーイ数(Bernoulli number)は、

次に、ベルヌーイ数に対するメタ的な概念として、
ベルヌーイ多項式(Bernoulli polynomial)を考える。
ここでは、ベルヌーイ多項式の母関数を定義し、
母関数からベルヌーイ多項式を導出する形式をとる。
その際、2通りのベルヌーイ数が、ベルヌーイ多項式に
代入した値の違いに他ならないことに気づくだろう。

目次

冪級数同士の積

本題に入る前に、準備として、
「冪級数同士の積とテイラー展開」
の記事で触れた、総和記号で表された
冪級数同士の積について再掲しておく。

冪級数同士の積を

の様に定義した場合、各係数には、

で表される関係がある。

ベルヌーイ数の母関数の定義

さて、まずベルヌーイ数の母関数を定義するが、
これには2種類の定義があり、文献によって、定義が異なっている。
ゼータ関数とガンマ関数の変数をともにs として、両者の積を考えたとき、

が得られるが、ここで、被積分関数においてs＝2，x＝t として、これを

の様に、ベルヌーイ数の母関数と呼ぶ場合（定義1）と、
その右辺にe^t を掛けて、

をベルヌーイ数の母関数と呼ぶ場合（定義2）がある。

両者に共通しているのは分母の部分であるが、これを

の様にテイラー展開して両辺に掛けると、
左辺は先程の総和記号同士で表された冪級数同士の積となるから、

と置けば、

が得られる。

一方、右辺は定義1の場合、

と定義すると、

となり、定義2の場合、

と定義すると、

とテイラー展開できる為、

が得られる。

母関数から漸化式

定義1の場合、

ここで、最後の式において、両辺にn!を掛けると、

或いは、

の形で書ける。これを変形して、

であるから、ベルヌーイ数は

の様に漸化式の形で書くことも出来る。但し、

を先に与えておく必要がある。

定義2の場合、

ここで、下の式において、両辺にn!を掛けると、

或いは、

の形で書ける。これを変形して、

であるから、ベルヌーイ数は

の様に漸化式の形で書くことも出来る。
こちらは、n＝0の場合も含めて適用することが出来る。

具体的なベルヌーイ数

次に、パスカルの三角形

定義1の場合、

からは、情報が得られないが、

から、

が得られる。これを用いて、

定義2の場合、同様に計算すると、

となる。両者が唯一異なる点は、B₁の符号が、
定義1の場合はマイナス、定義2の場合はプラスになるという点である。

ベルヌーイ多項式

ベルヌーイ数を拡張した概念にベルヌーイ多項式がある。
ベルヌーイ多項式B_n(x)に対して、

をベルヌーイ多項式の母関数と呼ぶ。
ベルヌーイ数のときと同様に、分母をテイラー展開して両辺に掛けると、
左辺は先程の総和記号同士の積となるから、

と置けば、

が得られる。
一方、右辺はこの場合、

と定義されるので、

とテイラー展開することにより、

が得られる。

次に、冪（べき）級数同士の積を考えて、

を得る。ここで、下の式において、両辺にn!を掛けると、

或いは、

の形で書ける。これを変形して、

であるから、ベルヌーイ多項式は

の様に漸化式の形で書くことも出来る。
これも、n＝0の場合も含めて適用することが出来る。

ベルヌーイ数のときと同様に、パスカルの三角形を利用して、
具体的にベルヌーイ多項式を求める。

これを繰り返して、

を得る。

ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式の関係

ベルヌーイ多項式の母関数に、x＝0とx＝1を代入すると、

となって、それぞれ、定義1、定義2のベルヌーイ数の母関数を得る。
また、各ベルヌーイ多項式にx＝0を代入すると、

を得るが、これは定義1のベルヌーイ数に等しい。
同様に、x＝1を代入すると、

を得るが、これも定義2のベルヌーイ数に等しい。
要するに、ベルヌーイ数の定義1と定義2の違いは、
ベルヌーイ多項式の母関数に、x＝0を代入したか、
それともx＝1を代入したかの違いに過ぎない。
従って、ベルヌーイ多項式はベルヌーイ数を拡張したものであり、
これを包括する、メタ的な概念であるといえるだろう。

まとめ

ベルヌーイ数

―	定義1のベルヌーイ数 (x＝0のとき)	定義2のベルヌーイ数 (x＝1のとき)
ベルヌーイ数の 母関数
ベルヌーイ数の 定義式
漸化式
具体的な ベルヌーイ数

ベルヌーイ多項式

ベルヌーイ多項式の 母関数
ベルヌーイ多項式の 定義式
漸化式
具体的な ベルヌーイ多項式

参考文献

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