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冪級数同士の積とテイラー展開

マクローリン展開(Maclaurin expansion)、或いは、
テイラー展開(Taylor expansion)の結果は、
f(x)=exf(x)=cosxf(x)=sinxf(x)=coshxf(x)=sinhx
等以外では、複雑になるが、冪級数同士の積の関係を利用すれば、
手間は掛かるが、一応導出することは可能である。ここでは、
f(x)=tanxf(x)=cotxf(x)=tanhxf(x)=cothx
に関して、その冪級数展開の導出過程及び、その結果を示す。
勿論これまでと同様、その様子をグラフ作成ツール「wgnuplot」を用いて描いておく。

目次

冪級数同士の積
f(x)=tanxのテイラー展開
f(x)=cotxのテイラー展開
f(x)=tanhxのテイラー展開
f(x)=cothxのテイラー展開




冪級数同士の積

本題に入る前に、準備として、
総和記号で表された冪級数同士の積について考察しておく。最初に

の様に定義すると、左辺は、

の様に展開することが出来る。右辺も同様に、

と展開することが出来る。ここで、両者の係数を比較すると、

即ち、

が得られる。




f(x)=tanxのテイラー展開

tanxの定義より、

tanxとcosxの冪級数同士の積がsinx
冪級数展開と等価であると考えて、次の表の様にまとめる。

tanx \ cosx 1 -1/2 1/24 -1/720 1/40320
1 1 -1/2 1/24 -1/720 1/40320
1/3 1/3 -1/6 1/72 -1/2160 1/120960
2/15 2/15 -1/15 1/180 -1/5400 1/302400
17/315 17/315 -17/630 17/7560 -17/226800 17/12700800
62/2835 62/2835 -31/2835 31/34020 -31/1020600 31/57153600
上記の表を用いて、冪級数同士の積の係数を計算すると、

となって、f(x)=cotxのテイラー展開は、次式で表される。

上記の結果をグラフ作成ツール「wgnuplot」を用いて、グラフ化する。
「wgnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
(勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。)

set terminal png
set xrange[-5:5]
set yrange[-5:5]
set xtics 0.5
set ytics 0.5
set grid
plot tan(x)
replot x
replot x+x**3/3
replot x+x**3/3+2*x**5/15
replot x+x**3/3+2*x**5/15+17*x**7/315
set output 'c:\temp\tayloroftangraph.png'
replot x+x**3/3+2*x**5/15+17*x**7/315+62*x**9/2835
exit
この方法により生成したグラフを以下に示す。




f(x)=cotxのテイラー展開

cotxの定義より、

cotxとsinxの冪級数同士の積がcosx
冪級数展開と等価であると考えて、次の表の様にまとめる。

cotx \ sinx 1 -1/6 1/120 -1/5040 1/362880
1 1 -1/6 1/120 -1/5040 1/362880
-1/3 -1/3 1/18 -1/360 1/15120 -1/1088640
-1/45 -1/45 1/270 -1/5400 1/226800 -1/16329600
-2/945 -2/945 1/2835 -1/56700 1/2381400 -1/171460800
-1/4725 -1/4725 1/28350 -1/567000 1/23814000 -1/1714608000
上記の表を用いて、冪級数同士の積の係数を計算すると、

となって、f(x)=cotxのテイラー展開は、次式で表される。

上記の結果をグラフ作成ツール「wgnuplot」を用いて、グラフ化する。
「wgnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
(勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。)

set terminal png
set xrange[-5:5]
set yrange[-5:5]
set xtics 0.5
set ytics 0.5
set grid
plot 1/tan(x) title "cot(x)"
replot 1/x
replot 1/x-x/3
replot 1/x-x/3-x**3/45
replot 1/x-x/3-x**3/45-2*x**5/945
set output 'c:\temp\taylorofcotgraph.png'
replot 1/x-x/3-x**3/45-2*x**5/945-x**7/4725
exit
この方法により生成したグラフを以下に示す。




f(x)=tanhxのテイラー展開

tanhxの定義より、

tanhxとcoshxの冪級数同士の積がsinhx
冪級数展開と等価であると考えて、次の表の様にまとめる。

tanhx \ coshx 1 1/2 1/24 1/720 1/40320
1 1 1/2 1/24 1/720 1/40320
-1/3 -1/3 -1/6 -1/72 -1/2160 -1/120960
2/15 2/15 1/15 1/180 1/5400 1/302400
-17/315 -17/315 -17/630 -17/7560 -17/226800 -17/12700800
62/2835 62/2835 31/2835 31/34020 31/1020600 31/57153600
上記の表を用いて、冪級数同士の積の係数を計算すると、

となって、f(x)=cotxのテイラー展開は、次式で表される。

上記の結果をグラフ作成ツール「wgnuplot」を用いて、グラフ化する。
「wgnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
(勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。)

set terminal png
set xrange[-5:5]
set yrange[-5:5]
set xtics 0.5
set ytics 0.5
set grid
plot tanh(x)
replot x
replot x-x**3/3
replot x-x**3/3+2*x**5/15
replot x-x**3/3+2*x**5/15-17*x**7/315
set output 'c:\temp\tayloroftanhgraph.png'
replot x-x**3/3+2*x**5/15-17*x**7/315+62*x**9/2835
exit
この方法により生成したグラフを以下に示す。




f(x)=cothxのテイラー展開

cothxの定義より、

cothxとsinhxの冪級数同士の積がcoshx
冪級数展開と等価であると考えて、次の表の様にまとめる。

cothx \ sinhx 1 1/6 1/120 1/5040 1/362880
1 1 1/6 1/120 1/5040 1/362880
1/3 1/3 1/18 1/360 1/15120 1/1088640
-1/45 -1/45 -1/270 -1/5400 -1/226800 -1/16329600
2/945 2/945 1/2835 1/56700 1/2381400 1/171460800
-1/4725 -1/4725 -1/28350 -1/567000 -1/23814000 -1/1714608000
上記の表を用いて、冪級数同士の積の係数を計算すると、

となって、f(x)=cotxのテイラー展開は、次式で表される。

上記の結果をグラフ作成ツール「wgnuplot」を用いて、グラフ化する。
「wgnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
(勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。)

set terminal png
set xrange[-5:5]
set yrange[-5:5]
set xtics 0.5
set ytics 0.5
set grid
plot 1/tanh(x) title "coth(x)"
replot 1/x
replot 1/x+x/3
replot 1/x+x/3-x**3/45
replot 1/x+x/3-x**3/45+2*x**5/945
set output 'c:\temp\taylorofcothgraph.png'
replot 1/x+x/3-x**3/45+2*x**5/945-x**7/4725
exit
この方法により生成したグラフを以下に示す。





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