マクローリン展開(Maclaurin expansion)、或いは、
テイラー展開(Taylor expansion)の結果は、
f(x)=ex,f(x)=cosx,f(x)=sinx,
f(x)=coshx,f(x)=sinhx
等以外では、複雑になるが、冪級数同士の積の関係を利用すれば、
手間は掛かるが、一応導出することは可能である。ここでは、
f(x)=tanx,f(x)=cotx,
f(x)=tanhx,f(x)=cothx
に関して、その冪級数展開の導出過程及び、その結果を示す。
勿論これまでと同様、その様子をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて描いておく。
本題に入る前に、準備として、
総和記号で表された冪級数同士の積について考察しておく。最初に
の様に定義すると、左辺は、
の様に展開することが出来る。右辺も同様に、
と展開することが出来る。ここで、両者の係数を比較すると、
即ち、
が得られる。
tanxの定義より、
tanxとcosxの冪級数同士の積がsinxの
冪級数展開と等価であると考えて、次の表の様にまとめる。
tanx \ cosx | 1 | -1/2 | 1/24 | -1/720 | 1/40320 |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | -1/2 | 1/24 | -1/720 | 1/40320 |
1/3 | 1/3 | -1/6 | 1/72 | -1/2160 | 1/120960 |
2/15 | 2/15 | -1/15 | 1/180 | -1/5400 | 1/302400 |
17/315 | 17/315 | -17/630 | 17/7560 | -17/226800 | 17/12700800 |
62/2835 | 62/2835 | -31/2835 | 31/34020 | -31/1020600 | 31/57153600 |
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
(勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。)
set terminal png set xrange[-5:5] set yrange[-5:5] set xtics 0.5 set ytics 0.5 set grid plot tan(x) replot x replot x+x**3/3 replot x+x**3/3+2*x**5/15 replot x+x**3/3+2*x**5/15+17*x**7/315 set output 'c:\temp\tayloroftangraph.png' replot x+x**3/3+2*x**5/15+17*x**7/315+62*x**9/2835 exit |
cotxの定義より、
cotxとsinxの冪級数同士の積がcosxの
冪級数展開と等価であると考えて、次の表の様にまとめる。
cotx \ sinx | 1 | -1/6 | 1/120 | -1/5040 | 1/362880 |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | -1/6 | 1/120 | -1/5040 | 1/362880 |
-1/3 | -1/3 | 1/18 | -1/360 | 1/15120 | -1/1088640 |
-1/45 | -1/45 | 1/270 | -1/5400 | 1/226800 | -1/16329600 |
-2/945 | -2/945 | 1/2835 | -1/56700 | 1/2381400 | -1/171460800 |
-1/4725 | -1/4725 | 1/28350 | -1/567000 | 1/23814000 | -1/1714608000 |
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
(勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。)
set terminal png set xrange[-5:5] set yrange[-5:5] set xtics 0.5 set ytics 0.5 set grid plot 1/tan(x) title "cot(x)" replot 1/x replot 1/x-x/3 replot 1/x-x/3-x**3/45 replot 1/x-x/3-x**3/45-2*x**5/945 set output 'c:\temp\taylorofcotgraph.png' replot 1/x-x/3-x**3/45-2*x**5/945-x**7/4725 exit |
tanhxの定義より、
tanhxとcoshxの冪級数同士の積がsinhxの
冪級数展開と等価であると考えて、次の表の様にまとめる。
tanhx \ coshx | 1 | 1/2 | 1/24 | 1/720 | 1/40320 |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1/2 | 1/24 | 1/720 | 1/40320 |
-1/3 | -1/3 | -1/6 | -1/72 | -1/2160 | -1/120960 |
2/15 | 2/15 | 1/15 | 1/180 | 1/5400 | 1/302400 |
-17/315 | -17/315 | -17/630 | -17/7560 | -17/226800 | -17/12700800 |
62/2835 | 62/2835 | 31/2835 | 31/34020 | 31/1020600 | 31/57153600 |
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
(勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。)
set terminal png set xrange[-5:5] set yrange[-5:5] set xtics 0.5 set ytics 0.5 set grid plot tanh(x) replot x replot x-x**3/3 replot x-x**3/3+2*x**5/15 replot x-x**3/3+2*x**5/15-17*x**7/315 set output 'c:\temp\tayloroftanhgraph.png' replot x-x**3/3+2*x**5/15-17*x**7/315+62*x**9/2835 exit |
cothxの定義より、
cothxとsinhxの冪級数同士の積がcoshxの
冪級数展開と等価であると考えて、次の表の様にまとめる。
cothx \ sinhx | 1 | 1/6 | 1/120 | 1/5040 | 1/362880 |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1/6 | 1/120 | 1/5040 | 1/362880 |
1/3 | 1/3 | 1/18 | 1/360 | 1/15120 | 1/1088640 |
-1/45 | -1/45 | -1/270 | -1/5400 | -1/226800 | -1/16329600 |
2/945 | 2/945 | 1/2835 | 1/56700 | 1/2381400 | 1/171460800 |
-1/4725 | -1/4725 | -1/28350 | -1/567000 | -1/23814000 | -1/1714608000 |
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
(勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。)
set terminal png set xrange[-5:5] set yrange[-5:5] set xtics 0.5 set ytics 0.5 set grid plot 1/tanh(x) title "coth(x)" replot 1/x replot 1/x+x/3 replot 1/x+x/3-x**3/45 replot 1/x+x/3-x**3/45+2*x**5/945 set output 'c:\temp\taylorofcothgraph.png' replot 1/x+x/3-x**3/45+2*x**5/945-x**7/4725 exit |