無限等比級数の和とテイラー展開

テイラー展開(Taylor expansion)の中には、無限等比級数の和を求めることと
逆の関係になっているものや、それを積分することで、
容易に導かれるものがある。今回はそれらを利用して、
級数の収束・発散を調べる。但し、収束域には注意する必要がある。
参考までにその様子をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて描いておく。

まず、初項a，公比rの等比数列の第n項までの総和Sn：

を求める。SnからSnのr倍を引くと、
となるから、Snの式は両辺を1－rで割ってやれば求められる。
但し、公比がr＝1のときは、分母が0になってしまうので、
別の方法で求める必要がある。といっても、Snは初項a，公比1の
等比数列の第n項までの総和なので、単純にn倍すればよいのだが。

従って、Snの式は次の様に表せる。

ちなみに、公比が1 < |r|のときは発散し、
r＝－1のときは振動するので、収束しない。
ここで、無限等比級数の和S：

は、Snでn → ∞ という極限をとったものであるから、

と導かれる。但し、以下では初項a＝1とする。



f(x)＝ln(1＋x)のテイラー展開

無限等比級数の和Sの式において、r＝－xのとき、

と表せる。さらに両辺を積分すると、

となるので、ここでx＝1を代入すると、

を得る。上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png
set xrange[-1.1:1.1]
set yrange[-1.1:1.1]
set xtics 0.1
set ytics 0.1
set grid
plot log(1+x)
replot x
replot x-x**2/2
replot x-x**2/2+x**3/3
replot x-x**2/2+x**3/3-x**4/4
set output 'c:\temp\taylorofln1px.png'
replot x-x**2/2+x**3/3-x**4/4+x**5/5
exit
この方法により生成したグラフを以下に示す。



f(x)＝ln(1－x)のテイラー展開

無限等比級数の和Sの式において、r＝xのとき、

と表せる。さらに両辺を積分すると、

となるので、ここでx＝1を代入すると、

であることより、

となることが分かる。上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png
set xrange[-1.1:1.1]
set yrange[-1.1:1.1]
set xtics 0.1
set ytics 0.1
set grid
plot -log(1-x)
replot x
replot x+x**2/2
replot x+x**2/2+x**3/3
replot x+x**2/2+x**3/3+x**4/4
set output 'c:\temp\taylorofln1mx.png'
replot x+x**2/2+x**3/3+x**4/4+x**5/5
exit
この方法により生成したグラフを以下に示す。



f(x)＝arctanxのテイラー展開

arctanxの定義より、

であるから、これを微分すると、次の様になる。

これは、無限等比級数の和Sの式において、
r＝－x2としたときに他ならないから、

と表せる。これを積分して原始関数に戻してやると、

となるので、x＝1を代入して、

を得る。これはグレゴリー(Gregory)級数、
或いはライプニッツ(Leibniz)の級数と呼ばれている。
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png
set xrange[-1.1:1.1]
set yrange[-1.1:1.1]
set xtics 0.1
set ytics 0.1
set grid
plot atan(x)
replot x
replot x-x**3/3
replot x-x**3/3+x**5/5
replot x-x**3/3+x**5/5-x**7/7
set output 'c:\temp\taylorofarctan.png'
replot x-x**3/3+x**5/5-x**7/7+x**9/9
exit
この方法により生成したグラフを以下に示す。



f(x)＝arctanhxのテイラー展開

arctanhxの定義より、

であるから、両辺にey＋e－yを掛けて、

さらに、両辺にeyを掛けて、

yの式にする為に、辺々を移項して、

両辺を1－rで割って、

となる。従って、arctanhxは自然対数を用いた形：

で表せることが分かる。これを微分すると、

となるが、これは無限等比級数の和Sの式において、
r＝x2としたときに他ならないから、

と表せる。これを積分して原始関数に戻してやると、

となるので、x＝1を代入して、

となることが分かる。上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png
set xrange[-1.1:1.1]
set yrange[-1.1:1.1]
set xtics 0.1
set ytics 0.1
set grid
plot atanh(x)
replot x
replot x+x**3/3
replot x+x**3/3+x**5/5
replot x+x**3/3+x**5/5+x**7/7
set output 'c:\temp\taylorofarctanh.png'
replot x+x**3/3+x**5/5+x**7/7+x**9/9
exit
この方法により生成したグラフを以下に示す。

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