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三次方程式の解の公式
(タルタリア・カルダノの公式)

三次方程式の解の公式は、発見者の名にちなんで、
「タルタリア・カルダノの公式」とも呼ばれる。
最初に与えられた係数:a, b, c, dを用いて書き直した場合、
最終結果は煩雑な式になるが、
導出すること自体はそれほど難しくはないはずである。




二次方程式の解の公式

二次方程式:ax2bxc=0 (a≠0)に対して、
以下の方針に従って、変形する。

  1. a≠0なので、aで割って、最高次の係数を1にする。
  2. 平方完成して、変数を一点集中させ、補正項を引いて、 辻褄つじつまを合わせる。
  3. 辺々を移項した後、通分して式を整理する。
  4. 開平して通分した後、辺々を移項して、xに関する式の形に変形する。
この方針に従って、計算すると、

という結果を得る。




解と係数の関係

先程の二次方程式の二つの解をα, βとして展開し、係数を比較すると、

を得る。三次方程式の場合も同様にして、
a≠0なので、aで割って、最高次の係数を1にする。

この三次方程式の三つの解をα, β, γとして展開し、係数を比較すると、

を得る。




三次方程式の解の公式

立方完成(立体完成)すると、

なので、与式は、

と書ける。三つの解をα, β, γとすると、解と係数の関係より、

定数項の符号が変わっているが、それは置き方の問題でしかないので、
yuv≠0と置くことが出来て、

1の三乗根をωと置くと、

従って、三次方程式の三つの解は、

となるが、最初に与えられた係数:a, b, c, dを用いて書き直すと、

という煩雑な式になる。




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