マクローリン展開
グラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、マクローリン展開(Maclaurin expansion)をグラフに描いてみた。一般に、マクローリン展開は、
で表される。今回、近似の対象に用いた関数 y＝f(x)(赤)は
f(x)＝ex，f(x)＝cosx，f(x)＝sinx， f(x)＝coshx，f(x)＝sinhx
であるが、これに対し、いずれの関数のグラフも
第1項(緑) →第2項(青) →第3項(紫) →第4項(水色) →第5項(茶色)
の順に近似の精度が高くなっている事が理解できるだろう。
これらのグラフからは、マクローリン展開が水平方向への補正による、
「horizontal」な近似であるという印象を受ける。
GIFアニメーション版はこちら
f(x)＝exのマクローリン展開
f(x)＝exのマクローリン展開は、次式で表される。
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png set xrange[-5:5] set yrange[-5:5] set xtics 0.5 set ytics 0.5 set grid plot exp(x) replot 1 replot 1+x replot 1+x+x**2/2! replot 1+x+x**2/2!+x**3/3! set output 'c:\temp\maclaurinofexp.png' replot 1+x+x**2/2!+x**3/3!+x**4/4! exit |
f(x)＝cosxのマクローリン展開
f(x)＝cosxのマクローリン展開は、次式で表される。
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png set xrange[-5:5] set yrange[-5:5] set xtics 0.5 set ytics 0.5 set grid plot cos(x) replot 1 replot 1-x**2/2! replot 1-x**2/2!+x**4/4! replot 1-x**2/2!+x**4/4!-x**6/6! set output 'c:\temp\maclaurinofcos.png' replot 1-x**2/2!+x**4/4!-x**6/6!+x**8/8! exit |
f(x)は偶数次の項のみで近似できることから、
cosxが偶関数であることが分かるだろう。
f(x)＝sinxのマクローリン展開
f(x)＝sinxのマクローリン展開は、次式で表される。
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png set xrange[-5:5] set yrange[-5:5] set xtics 0.5 set ytics 0.5 set grid plot sin(x) replot x replot x-x**3/3! replot x-x**3/3!+x**5/5! replot x-x**3/3!+x**5/5!-x**7/7! set output 'c:\temp\maclaurinofsin.png' replot x-x**3/3!+x**5/5!-x**7/7!+x**9/9! exit |
f(x)は奇数次の項のみで近似できることから、
sinxが奇関数であることが分かるだろう。
f(x)＝coshxのマクローリン展開
f(x)＝coshxのマクローリン展開は、次式で表される。
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png set xrange[-10:10] set yrange[-10:210] set xtics 1 set ytics 10 set grid plot cosh(x) replot 1 replot 1+x**2/2! replot 1+x**2/2!+x**4/4! replot 1+x**2/2!+x**4/4!+x**6/6! set output 'c:\temp\maclaurinofcosh.png' replot 1+x**2/2!+x**4/4!+x**6/6!+x**8/8! exit |
やはりf(x)は偶数次の項のみで近似できることから、
coshxも偶関数であることが分かるだろう。
f(x)＝sinhxのマクローリン展開
f(x)＝sinhxのマクローリン展開は、次式で表される。
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png set xrange[-10:10] set yrange[-500:500] set xtics 1 set ytics 50 set grid plot sinh(x) replot x replot x+x**3/3! replot x+x**3/3!+x**5/5! replot x+x**3/3!+x**5/5!+x**7/7! set output 'c:\temp\maclaurinofsinh.png' replot x+x**3/3!+x**5/5!+x**7/7!+x**9/9! exit |
やはりf(x)は奇数次の項のみで近似できることから、
sinhxも奇関数であることが分かるだろう。
