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速習・量子力学
第伍講　クライン・ゴルドン方程式

相対性理論は、「相対論」とも呼ばれるが、これと量子力学は、相容れないとよくいわれる。
しかし、相対性理論には、特殊相対性理論と一般相対性理論の二種類があって、
確かに、一般相対性理論の重力と、量子力学の摂動論の両者は、確かに相容れないのだが、
特殊相対性理論の範囲であれば、両者は極めて相性がいい。
例えば、量子力学に対して、特殊相対性理論を適用した、「相対論的量子力学」という理論が存在する。
ここでは、「相対論的量子力学」から、「クライン・ゴルドン方程式」と、
「非線形物理学」のソリトン方程式から、「サイン・ゴルドン方程式」について述べる。

クライン・ゴルドン方程式

まずは、本題に入る前に、準備として、
シュレーディンガー方程式の時と同様に、
エネルギーや運動量を以下の様に演算子化しておく。

次に、特殊相対性理論より、以下の式：
E² ＝c²|p|²＋m²c⁴ ＝c²(p_x²＋p_y² ＋p_z²)＋m²c⁴
を、上記の様に演算子化させ、波動関数：
φ(r, t) ＝Ae^{i(k・r－ωt)}
⇔φ(x, y, z, t) ＝Ae^{i(k_xx＋k_yy
＋k_zz－ωt)}
に左側から作用させると、

となる。ここでは、座標x, y, zを明示した場合、
それらを位置ベクトルrとナブラ演算子の2乗∇²でまとめた場合、
ナブラ演算子の2乗をラプラシアンで書き直した場合の3通りの方法で表現している。
※運動量ベクトルの定義により、p²＝|p|²＝p² ＝p_x²＋p_y²＋p_z² である。
※波数ベクトルの定義により、k²＝|k|²＝k² ＝k_x²＋k_y²＋k_z² である。
※位置ベクトルの定義により、 r²＝|r|²＝r² ＝x²＋y²＋z² である。

ここで、両辺を－c²ℏ²で割って、辺々を移項し、エネルギーや運動量を、先程の演算子で表すと、

のように書き直すことが出来る。ここでも、座標x, y, zを明示した場合、
それらを位置ベクトルrとナブラ演算子の2乗∇²でまとめた場合、
ナブラ演算子の2乗をラプラシアンで書き直した場合の3通りの方法で表現しているが、
さらに、ダランベルシアン⧠を

の様に定義して、これを用いれば、先程の式はより簡潔に、

と書ける。この式を「クライン・ゴルドン方程式」と呼ぶ。

サイン・ゴルドン方程式

「非線形物理学」のテキストには、クライン・ゴルドン方程式：

と、その右辺が非線形な正弦関数に置き換わった、
ソリトン方程式である、サイン・ゴルドン（sine Gordon）方程式：

が、上記のように書かれていたが、これらのクライン・ゴルドン方程式は、
前節のクライン・ゴルドン方程式と式の形が異なっている。
Wikipediaには、「c＝1、ℏ＝1とする自然単位系が採用されることも多い。」
と書かれているので、一見すると、自然単位系に見えるが、
左辺にcが残っていることから、このmが、前節のμに
相当する変数であれば、単位系を変えずに成立すると思われる。
また、変数が減って、3次元から1次元になっている。
サイン・ゴルドン方程式とクライン・ゴルドン方程式の関係は、
単振り子と単振動（調和振動）の関係に準(なぞら)えることができるだろう。