シェルピンスキーによって考案された「フラクタル図形」である(1912年)。
一辺の長さが1 の正三角形の各辺の中点を結ぶと、
一辺の長さが1/2 の正三角形が4個できる。
そのうちの真中の正三角形を捨てると、
一辺1/2の正三角形3個からなる図形が得られる。
残った各正三角形に対して同じ操作を繰り返して
出来るのが、「シェルピンスキーのガスケット」である。
自然界には、
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このように、自身の一部がその全体と相似である性質を
「自己相似性」、或いは、「拡大縮小対称性」と呼ぶ。
そしてその性質をもつパターンを「自己相似フラクタル」と呼ぶ。
「自己相似フラクタル」にはどのような例があるのかを、以下に挙げていく。
また、フラクタルは、長さを持たない曲線や、面積を持たない平面図形、
体積を持たない立体図形であり、その次元は整数にはならず、
「フラクタル次元」、或いは、「ハウスドルフ次元」等と呼ばれる、
非整数次元になる。元となるスタートした図形を、
「イニシエータ」、そこから何らかの操作をして、
得られる図形を「ジェネレータ」と呼ぶ。
同様の操作を果てしなく繰り返してできるパターンが、
「フラクタル図形」であり、ここでは、その図形全体が
それを1/a に縮小したミニチュアad 個によって構成されているとき、
その図形の次元をd と定義し、各図形のフラクタル次元を求めていくことにする。
「コッホ曲線(Koch curve)」は、スウェーデンの数学者
コッホによって考案された「フラクタル図形」である(1904年)。
線分を1本用意し、それを3等分して、中央の線分を
それを底辺とする正三角形の他の二辺で置き換える。
この段階での曲線は元の線分の1/3の長さの線分4個から成るが、
さらに、この4個の各線分について同様の操作を果てしなく続けて
出来る曲線が「コッホ曲線」である。
長さ1の「イニシエータ」から、長さ1/3の線分が4個ある
「ジェネレータ」が得られ、その長さは4/3であり、
次の第2段階では、その4/3倍、即ち16/9＝(4/3)2となり、
第n段階の曲線の長さは、(4/3)n となる。
その次元は、3d＝4なので、
d＝log34＝log104/log103≒0.6021/0.4771＝1.2619…≒1.26
従って、コッホ曲線のフラクタル次元dは、約1.26となる。
線分を1本用意し、コッホ曲線の時の様に、それを3等分するのだが、
今回はその中央の線分を取り除くことで、残された図形は、
元の線分の1/3の長さの線分2本になる。この操作を繰り返して
出来るのが、「カントール集合」である。
「シェルピンスキーのガスケット(Sierpinski gasket)」は、ポーランドの数学者
シェルピンスキーによって考案された「フラクタル図形」である(1912年)。
一辺の長さが1 の正三角形の各辺の中点を結ぶと、
一辺の長さが1/2 の正三角形が4個できる。
そのうちの真中の正三角形を捨てると、
一辺1/2の正三角形3個からなる図形が得られる。
残った各正三角形に対して同じ操作を繰り返して
出来るのが、「シェルピンスキーのガスケット」である。
同様に、上の定義で「a＝2」とすると、2d＝3となるので、
d＝log23＝log103/log102≒0.4771/0.3010＝1.5850…≒1.59
従って、シェルピンスキーのガスケットのフラクタル次元d は、約1.59となる。
一辺の長さ1 の正方形の各辺を3等分し、それぞれを水平、
垂直に結ぶと一辺が1/3の正方形が9個得られる。
これらの小正方形のうち真中のものを捨てる。
残りの8個の小正方形からなる図形についても同じ操作を
繰り返して出来るのが、「シェルピンスキーのカーペット」である。
これは、カントール集合を2次元に一般化したものである。
シェルピンスキーのカーペットの3次元版。
他のフラクタル図形も含めて、フラクタル次元Dが
低い順に表にまとめると、以下の様になる。
| フラクタル図形 | フラクタル次元D |
|---|---|
| カントール集合 | D＝log2/log3＝0.631 |
| コッホ曲線 | D＝log4/log3＝1.262 |
| ヴィチェックの雪片 | D＝log5/log3＝1.46 |
| シェルピンスキーのガスケット | D＝log3/log2＝1.585 |
| シェルピンスキーのカーペット | D＝log8/log3＝1.893 |
| ペアノ曲線 | D＝log9/log3＝2 |
| シェルピンスキーのスポンジ | D＝log20/log3＝2.727 |
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