流体力学の運動方程式

「流体力学」、或いは、「流体物理学」は、そのテキストが、
理学向けか、工学向けか、によって、テキストの用語に揺れがある。
或いは、工学の中であっても、土木工学や機械工学、化学工学等、分野によっては、
「水理学(hydraulics)」や「水力学(hydrodynamics)」等と名称が異なっている。
従って、一般的なテキストでは、説明の順序や比重も異なり、初学者には、
混乱を招く可能性がある。これは流体力学の難易度を上げている一因と言えるだろう。
ここでは、初学者を対象とする為、厳密な区別をせず、説明も厳密性を重視しない。
但し、説明の順序は、断片的知識の丸暗記にはならないように多少工夫したつもりである。
※機械工学の「四力」とは、「材料力学」「流体力学」「熱力学」「機械力学」の4つを、
土木の「三力」とは、「構造力学」「水理学」「土質工学」の3つを指すようだ。
他にも、化学の化学工学も、「流体力学」に近い分野を扱うようだ。

目次

流体力学の運動方程式

流体力学の応用

流体とは何か

物質には、固体・液体・気体の三態がある。
これらは、「相」と呼ばれることもある。
（「固相」、「液相」、「気相」、「相転移」など。）
勿論、高温・高圧下では、液体と気体の両方の性質を持つ、
「超臨界」と呼ばれる状態も存在するし、
更に、高温の環境下では、気体が電離し、
「プラズマ」と呼ばれる状態も存在するが、
ここでは、まず、固体・液体・気体の区別をしよう。
※水は、約647K(約374℃)、約22MPa(約218atm)の臨界点を超えると、
「超臨界状態」である、「超臨界水」になる。例えば、
ペットボトルに使われている、ポリエチレンテレフタレート（PET）は、
エチレングリコール（EG）とテレフタル酸（TPA）のエステルだが、
超臨界水を用いることで、このポリエチレンテレフタレート（PET）を
エチレングリコール（EG）とテレフタル酸（TPA）に加水分解できる。

「固体」は、固有の形を持ち、力を加えても容易には変形しないが、
「液体」と「気体」は、固有の形を持たず、容易に変形する。
この「液体」と「気体」を合わせて、「流体(fluid)」と呼ぶ。
前者は、「固体物理学」或いは、「物性物理学」の範疇であり、
後者は、「流体力学」、或いは、「流体物理学」の範疇である。
一方、「固体」と「液体」は、固有の体積を持つが、
他方、「気体」は、固有の体積を持たない。
例えば、その取り扱いに際し、
前者は、「危険物取扱者」の範疇であるが、
後者は、高圧ガスに関する、別の資格等が必要となってくる。

ベルヌーイの定理

質点系、或いは、剛体の力学に関して、その運動を記述する、
運動方程式は、以下の3種類の保存則を満たしていた。

解析力学では、運動エネルギーKと位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）Uの
差を「ラグランジアンℒ」、和を「ハミルトニアンℋ」（力学的エネルギー）として、
前者から、「ラグランジュの運動方程式」を、
後者から、「ハミルトンの運動方程式」を導出した。
ここでは、解析力学の手法に倣い、エネルギー保存則である、
「ベルヌーイの定理」を基点にして、流体力学版の運動方程式を
導出していくという立場をとることにしたい。

流体では、運動エネルギー、位置エネルギー、及び、
圧力エネルギーの和が一定となる。運動エネルギーKは、

特に、位置エネルギーに変化がない場合、

オイラー方程式

「ベルヌーイの定理」を時間微分すると、流体力学の「オイラー方程式」を得る。
「ベルヌーイの定理」において、流れに落差がないならh＝0で、

オイラー表現とラグランジュ表現

流れのスナップ写真のように、測定点を空間に固定し、
無数の流体要素（花びら等）を定点観測するのが、「オイラー表現」である。
（「オイラーの方法(Euler's method)」等ともいう。）
マラソンでいえば、多数のランナーをコース上のある地点で観測し、
「時間を止めて」、多数のランナーの動きを描くようなものである。
時間を止めて、ある時刻における空間上の各流体粒子の速度ベクトルを
描いたものの変遷を描いた曲線を「流線(streamline)」と呼ぶ。

一方、無数の観測者が、各自特定の流体要素に注目し、
追跡観測するのが、「ラグランジュ表現」である。
識別時刻と観測時刻が同一のラグランジュ速度は、オイラー速度に等しい。
（「ラグランジュの方法(Lagrange's method)」等ともいう。）
マラソンでいえば、ある1人のランナーと一緒に走り、
「時間を変化させて」、その動きを描くようなものである。
1つの流体粒子が時間の経過に対して描く軌跡を流跡線(pathline)と呼ぶ。
また、それらの流体粒子をつないだ線は、流脈線(streakline)と呼ぶ。

時間的に変化しない流れ場を定常流(steady flow)と呼ぶ。
一方、時間的に変化する流れ場を非定常流(unsteady flow)と呼ぶ。
流れが時間によって変化しない定常流では、流線・流跡線・流脈線は、
全て一致するが、非定常流では一致しない。

オイラー方程式の左辺において、第一項は、非定常項(unsteady term)、
第二項は、移流項(convective term)、両者を合わせて慣性項と呼ばれる。
例えば、水道の栓を開いた際、流量が増して、
流れが全体として速くなることによる「非定常加速」を受け、
水道の配管が太い部分から細い部分に流入すると、
細い部分は、太い部分よりも流速が速くなり、
流れの遅いところから、速いところに移動することによる「移流加速」を受ける。

また、第一項目の加速度は、時間的加速度(instantaneous acceleration)、
第二項目の加速度は、移流加速度(convective acceleration)とも呼ばれ、
非定常流れの加速度は、両者の和で表される。
即ち、流体要素の加速度をa、速度をvとすると、

連続の式と非圧縮性

流体力学の「連続の式」：

流体の速度場vの発散：div v＝∇・vは、「膨張度」であり、
div v＝∇・v > 0のとき、流体は膨張し、 div v＝∇・v < 0のとき、流体は収縮する。
膨張度がゼロ(div v＝∇・v＝0)の流れは、慣用的に「非圧縮流」と呼ばれている。
また、流体の速度場vの回転： rot v＝∇×vは、「渦度」と呼ばれている。

音速をcとし、流速vの音速cに対する比：

マッハ数と圧縮性流体

流速が音速のおおよそ0.3を超える場合には、圧縮性の影響が無視できなくなる為、
圧縮性の影響を見るには、流速と音速の比、マッハ数Maを基準にして、
次の表に示す様に、流れを分類することが出来る。

衝撃波とは、その波の通過によって、圧力、温度、及び密度が
不連続に増加するような波である。衝撃波は流れに相対的に音速より速い速度で伝わり、
流れは衝撃波によって超音速から亜音速へと減速される。

高速車両がトンネルに突入すると、車両前面の圧力が上昇し、
その圧力上昇が音速で反対側の出口に向かって伝わっていく現象が起こる。
これを「微気圧波」といい、微気圧波が出口から出るときに大きな音が発生する。
例えば、700系新幹線の先頭が「カモノハシ」形状をしているのは、
トンネルに高速で入った際、空気鉄砲のように、反対側の出口から空気が押し出され、
非常に大きな音が出るという「微気圧波」の発生を低減し、
この問題の影響を小さくする為に考えられた形状で、
新幹線を速く走らせる為の工夫というよりは、
環境に与える影響を小さくする為の工夫である。

応力とは何か

ところで、高等学校の物理では、
単位面積当たりの力を「圧力(pressure)」と定義していたが、
厳密には、単位面積当たりの力は、「応力(stress)」と呼ばれる。
応力には、「接線応力」、或いは、「剪（せん）断応力(shear stress)」τと、
「法線応力」、或いは、「垂直応力(normal stress)」σがあり、
「圧力」は、垂直応力の一種である。剪（せん）断応力の例としては、
「粘性応力(viscosity stress)」がある。

粘性とは何か

「粘性(viscosity)」は、流体力学における「摩擦力」であり、流体が
「どろどろ」しているか「さらさら」しているかを表す物理量である。
粘性があると流体には粘性による剪（せん）断応力 (shear stress by viscosity)が発生する。
この粘性による剪（せん）断応力が、「粘性応力」である。
「粘性応力」が無視できる流体を「理想流体(ideal fluid)」、
或いは、「完全流体(perfect fluid)」と呼び、
その運動方程式を「オイラー方程式」と呼ぶ。
※「粘性」を無視できる流体を「完全流体」と言い、
さらに圧縮性を無視できるとき、「理想流体」と言う場合もある。

一方、「粘性応力」が無視できない流体は、「実在流体(existence fluid)」、
或いは、「粘性流体(viscosity fluid)」と呼び、その運動方程式を
「ナビエ・ストークスの運動方程式(Navier-Stokes equation of motion)」、
或いは、それを縮めて、「ナビエ・ストークス方程式」と呼ぶ。

ニュートンの粘性法則

水平方向をx、鉛直方向をyとして、水槽の水面上に乗せた平板を速度Uで動かしたときの
流体の速度をuは、水槽の底面からの距離yの関数として、u(y)と表せる。
平板の速度Uが比較的小さい場合、流体の速度u(y)は、平板直下ではu＝Uになり、
その速度は直線的に減少して、水槽の底面付近ではu＝0となる。
このように速度分布が直線的である流れは、「クエット流れ(Couette flow)」と呼ばれ、
流体の速度u(y)を水槽の底面からの距離yで 微分したdu/dyを速度勾配(velocity gradient)と呼ぶ。

粘性応力τ_mは、この速度勾配du/dyに比例し、

また、流体の運動には、粘度だけでなく密度も関係し、密度の大きな流体の方が
密度の小さな流体よりも、粘性応力による流体の加速度は小さくなり減速しづらくなる。
そこで、μ（ミュー）[Pa・s]＝[kg/m・s]を 密度ρ（ロー）[kg/m³]で割った値：

ナビエ・ストークス方程式

「ナビエ・ストークス方程式」は、単位体積当たりの非圧縮性の流体の運動方程式であり、
ニュートンの運動方程式の流体力学版といえる。基本的には、「オイラー方程式」に
粘性力の項を加えたものであるが、粘性力の項がある為、2階偏微分方程式となる。

ナビエ・ストークス方程式は、ニュートンの粘性法則において、
比例定数として定義した、粘度μ（ミュー）及び、 動粘度ν（ニュー）を用いて、

と表せる。粘性項において、上の式では粘度μ（ミュー）を、 下の式では動粘度ν（ニュー）を用いている為、
即ち、両者には上の式を密度ρ（ロー）で 割ったものが、下の式になるという関係が成り立つ。
※上記では、参考文献のテキストに従い、重力のような外力をFと
表記しているが、実際は、力の次元ではなく、加速度の次元を持つことに注意。
因（ちな）みに、 Wikipediaでは、gで表現している。

ナビエ・ストークス方程式は、以下に示す、5つの項によって、構成される。
非定常項＋移流項＝圧力項＋粘性項＋外力項
この移流項：(v・∇)vが非線形項であることにより、
ナビエ・ストークス方程式の解の存在と滑らかさ問題は、
物理学の未解決問題の一つであり、$1,000,000のミレニアム懸賞問題の一つとなっている。
※「非定常項」は「時間項」、「移流項」は「対流項」とも呼ばれる。

また、「ローレンツ方程式」は、大気の熱対流を表す
ブシネスク近似(Boussinesq approximation)の
ナヴィエ・ストークス方程式を変形することで得られる。
「ローレンツ方程式のシミュレーション」の記事も参照。
※ブシネスク近似は、「ブシネ近似」と呼ばれることもある。

ナビエ・ストークス方程式の考察

ここで、「理想と現実」という点で、振動・波動現象との
アナロジーから、ナビエ・ストークス方程式を考察してみる。
例えば、ナビエ・ストークス方程式の外力項がある場合は、
力学的な振動においては、外力による強制振動に相当し、
電気回路においては、外部電源から電圧を印加した場合に相当する。
一方、ナビエ・ストークス方程式の外力項が無視できる場合は、
力学的な振動における減衰振動、或いは、電気回路におけるRLC直列回路に相当する。
さらに、粘性項が無視できれば、理想流体となり、オイラー方程式で表される。
これは、単振動（調和振動）、或いは、LC回路に相当する。

ナビエ・ストークス方程式の無次元化

ここでは、ナビエ・ストークス方程式（粘性項あり・外力項なし）の場合：

について、さらに式変形をすることによって、無次元化し、
パラメータを一点集中させることができることを示す。
代表速度（流体の平均速度や相対速度など）をV[m/s]、
代表長さ（流体の流れた距離など）をL[m]とすると、
上記のナビエ・ストークス方程式に対し、両辺にLを掛けて、V²で割ると、

の様に式変形できる。ここで、以下の物理量を、

と書き換えることによって、無次元化すると、ナビエ・ストークス方程式は、

の様に式変形でき、右辺第2項にのみパラメータが現れる形となる。
このパラメータを「レイノルズ数(Reynolds number)」と呼ぶ。
→以降の内容は、「流体力学の応用」の記事へ移動。

参考文献

Wikipedia

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