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楕円積分と楕円関数

単振り子の周期に関して、第1種楕円積分が現れ、
楕円の弧長に関して、第2種楕円積分が現れる。
また、第1種楕円積分の逆関数として、楕円関数が定義される。
楕円積分と完全楕円積分、ルジャンドル標準形とヤコビ標準形等、
複数の形式が存在して混乱を招く可能性があるので、
これらを整理してみることにした。

目次

第1種楕円積分
楕円関数
第2種楕円積分
楕円関数の加法定理
まとめ




第1種楕円積分

単振り子の微分方程式:

の両辺に


dt
を掛けると、

となる。これを積分して、

とする。ここで、振り子がθθmで静止したとすると、

を得る。従って、得られた積分定数Cを代入して、

となる。対称性から、0≤θπのみを考えればよいので、

の様に、変数を分離することが出来る。ここで積分範囲を
とすると、積分して

を得る。ここで、tmは、周期の4分の1である。

ここで、

と置く。この変数変換の式の両辺を微分すると、

となり、また、この変数変換の式の両辺を二乗すると、

であるので、両式より、

となって、積分変数をθからφへと変換することが出来た。
積分範囲は、θθm(0≤θπ)のとき、
sinφ=1⇔φπ/2なので、0≤φπ/2である。

再び、tmの式に戻って、半角の公式を適用し、
積分変数をθからφへと変換すると、

を得る。ここで、

と置くと、tmは、ルジャンドル(Legendre)標準形の第1種完全楕円積分:

を用いて、

と表せる。K(k)は、ルジャンドル標準形の第1種楕円積分:

において、φπ/2とした場合である。

ルジャンドル標準形の第1種完全楕円積分において、x≡sinφと置くと、

と積分変数を変換することが出来て、φπ/2のとき、x=1であるから、

と書ける。これをヤコビ(Jacobi)標準形の第1種完全楕円積分と呼ぶ。
これは、ヤコビ標準形の第1種楕円積分:

において、x=1とした場合である。




楕円関数

ヤコビ標準形の第1種楕円積分を

と置き、その逆関数として、sn(エスエヌ)関数:
x=sn y=sn(y, k)
を定義する。k=0のとき、

及び、k=1のとき、

となって、正弦関数や双曲線正接関数になることが分かる。

また、ルジャンドル標準形の第1種楕円積分において、

と置くと、その逆関数として、振幅関数:
φ=am y=am(y, k)
が定義される。ここで、
sn yx=sin φ=sin (am y)
であるが、さらにこれに対して、cn(シーエヌ)関数:

及び、dn(ディーエヌ)関数:

を定義する。この定義により、k=0のとき、

となって、それぞれ余弦関数と1になることが分かり、また、k=1のとき、

となって、双方共に双曲線余接関数になることが分かる。

楕円関数を微分してその導関数を求めよう。sn関数の定義により、

が得られるので、このsn関数の導関数を用いて、cn関数の導関数:

及び、dn関数の導関数:

が得られる。




第2種楕円積分

楕円の長径をa、短径をbとし、長径方向にx軸、短径方向にy軸をとり、
動径とx軸とのなす角をφと置いて、角度φに対する楕円の弧長を考える。
楕円の方程式:

x2   y2  


=1
a2   b2  
において、x座標及び、y座標を媒介変数φで表すと、
xacos φ
ybsin φ
となるので、微小要素の変数変換は、
dx=-asin
dybcos
より、楕円の弧長は、微小要素:

を積分した式:

により得られる。ここで、

をルジャンドル標準形の第2種楕円積分と呼び、
特に、φπ/2とした場合:

をルジャンドル標準形の第2種完全楕円積分と呼ぶ。

第1種楕円積分の時と同様、x≡sinφと置くと、 ヤコビ標準形の第2種楕円積分:

を得る。特に、x=1とした場合:

をヤコビ標準形の第2種完全楕円積分と呼ぶ。

ところで、
sin φ = sn y
の両辺を微分すると、
cos φ = cn y dn y dy
となるが、ここで、
cos φ = cn y
であったから、両辺を割ってやると、
= dn y dy
となる。これらを用いて、第2種楕円積分は、

と変形でき、第2種楕円積分が、dn2 y の積分で与えられることが分かる。

また、第2種完全楕円積分E(k)を母数kで微分すると、

となり、第1種完全楕円積分K(k)と第2種完全楕円積分E(k)に関する一次式で表される。




楕円関数の加法定理

まず、f(u)≡sn uf(v)≡sn vと定義すると、
k=0のとき、f(u)=sin uf(v)=sin vとなり、
k=1のとき、f(u)=tanh uf(v)=tanh vとなる。
従って、sn関数の加法定理は、k=0のとき、正弦関数sin (u±v)の加法定理と一致し、
k=1のとき、双曲線正接関数tanh (u±v)の加法定理と一致しなければならない。
正弦関数の加法定理と双曲線正接関数の加法定理を以下に示す。

ここで、正弦関数sin (u±v)の加法定理を少し変形してあるが、
余弦関数cosは、正弦関数sinの導関数として、表すことが出来る。
同様に、双曲線正接関数tanhの導関数は、
双曲線正割関数sechの二乗で表すことも出来るので、
これと同様の形式で書くと、双曲線正接関数tanh (uv)の加法定理は、
次のように変形することが出来る。

両者を比較し、母数kが、0と1の時の条件を満たすような式として、

という形を仮定する(この様な操作を「内挿」と呼ぶ)。
これは確かに、題意の条件を満たすので、
sn関数の導関数を代入して、sn関数の加法定理:

を得る。或いは、分子分母に sn u cn v dn v-sn v cn u dn u を掛けて、

と書くこともできる。




まとめ

楕円積分

楕円積分 ルジャンドル標準形 ヤコビ標準形
第1種
第2種

ルジャンドル標準形の楕円積分において、φπ/2、或いは、
ヤコビ標準形の楕円積分において、x=1とした場合を、完全楕円積分と呼ぶ。

完全楕円積分

完全楕円積分 ルジャンドル標準形 ヤコビ標準形
第1種
第2種

楕円関数

楕円関数 k=0 k=1 導関数(dx/dy
sn(y,k) sin y tanh y cn y dn y
cn(y,k) cos y sech y -sn y dn y
dn(y,k) 1 sech y k2sn y cn y



参考文献

  1. 「楕円関数入門」(日本評論社、2001年)
  2. 「道具としての物理数学」(日本実業出版社、2002年)



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