二重振り子の運動方程式

ラグランジュの運動方程式の応用として、二重振り子の運動方程式を導出する。
単振り子と二重振り子の関係は、二体問題と三体問題の関係である為、
二重振り子の運動はカオスになるといわれている。だが、多くのテキストでは、
ラグランジアンとラグランジュの運動方程式を導出した辺りで計算を終了していたり、
計算はしていたとしても、近似して微小振動の場合のみを解いているだけである。
ここでは、微小振動として近似せずに、「二重振り子の運動方程式」を導出する。

二重振り子のシミュレーションはこちら

※この記事の内容を卒業論文に引用した者がいるようだが、殆ど丸写しで、誤植もあった。
抑(そもそ)も、このサイトの記事は、誰かの査読を受けたりもしていない、
インターネット上の個人の備忘録に過ぎない記事なので、
それを卒業論文に殆ど丸写しで引用するのは如何なものか、とは思うのだが…。

水平方向にx軸、鉛直下向きにy軸を取ると、

―	質点m1	質点m2
x座標
y座標
dx ― dt
dy ― dt
運動エネルギーK
ポテンシャル エネルギーU

ここで角度の1階微分、即ち角速度をそれぞれ

と置くと、質点m₁の運動エネルギーK₁は、

となる。また、質点m₂の運動エネルギーK₂は、

であるが、ここで中括弧の中身の第1項・第2項はそれぞれ、

の様に書けるので、辺々を加え合わせて、

と導ける。また、質点m₁のポテンシャルエネルギーU₁及び
質点m₂のポテンシャルエネルギーU₂は、それぞれ

と書ける。

従って、この系のラグランジアンℒは、

と得られるので、これをθ₁，ω₁及び、 θ₂，ω₂でそれぞれ偏微分しておく。

さらに、ここで角度の2階微分、即ち角加速度を次の様に定義する。

質点m₁に対するラグランジュの運動方程式は、

であるから、これを解くと、

を得る。また、質点m₂に対するラグランジュの運動方程式は、

であるから、これを解くと、

を得る。

しかし、このままの形では、角度の2階微分：α₁，α₂が
両方とも式の中に含まれているので、

と置いて、二元連立一次方程式：

の形に変形し、これをα₁及びα₂に関して解けばよい。
勿論このまま解いてもよいが、行列を用いて、

と書き直せば、クラメル(Cramer)の公式より、α₁，α₂は

と求められる。ここで各行列式をそれぞれ算出すると、

となる。

分子に注目すると、各項はそれぞれ、m₂²か
(m₁+m₂)m₂で 括ることが出来るだろう。ここで、

と置くと、分子分母をm₂²で割ることが出来るし、
位相差も括弧を使わずに表せる。各行列式をm₂²で割って、

と置く。これらの行列式の値を代入して、それぞれの角度の2階微分：

を得る。但し、前者は分子分母をl₁l₂²で、
後者は分子分母をl₁²l₂で割った。

参考文献

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