チェビシェフ多項式(Chebyshev polynomial)は、
エルミート多項式(Hermite polynomial)と同様、
スツルムリウビル型微分方程式の一つである、
チェビシェフの微分方程式を満たす多項式のことをいう。
また、これは三角関数におけるn倍角の公式を
多項式の形で表現したものだともいえる。
特に、第1種チェビシェフ多項式Tn(x)は、
そのミニマックス性により、関数近似に用いられる。
第1種チェビシェフ多項式Tn(x)は、
x＝cos θ ⇔ θ＝arccos x
としたとき、
Tn(cos θ)＝cos nθ
⇔ Tn(x)＝cos (n arccos x)
で定義される。但し、xの定義よりその定義域は、
－1 ≤ cos θ ≤ 1 ⇔ －1 ≤ x ≤ 1
の範囲に制限される。この定義より明らかに、n＝0のとき、
T0(x)＝1
であり、n＝1のとき、
T1(x)＝x
である。また、加法定理：
cos (nθ ± θ)
＝cos nθ cos θ ∓ sin nθ
が成り立つ(複号同順)。この両式の辺々の和をとると、
cos (nθ＋θ)＋cos (nθ－θ)
＝2cos nθ cos θ
となるから、これをチェビシェフ多項式の形で表せば、
Tn＋1(x)
＝2xTn(x)
－Tn－1(x)
という漸化式が得られる。最初の2つの項は既に求めてあるので、
この式を用いて、順に以下の多項式を得る。
これをグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png set xrange[-1.1:1.1] set yrange[-1.1:1.1] set xtics 0.1 set ytics 0.1 set grid plot 1 replot x replot 2*x**2-1 replot 4*x**3-3*x replot 8*x**4-8*x**2+1 set output 'c:\temp\chebyshevgraph.png' replot 16*x**5-20*x**3+5*x exit |
まず、第1種チェビシェフ多項式Tn(x)の両辺を
xで微分し、その1階導関数を求めると、
となり、ここで
を代入すると、1階導関数は、
となる。ここで、
と置き、これをxで微分すると、
となるから、これを用いて、2階導関数：
が求められる。ここで、微分方程式の係数を
と置き、各々を代入して、cos(n arccosx)及び、
sin(n arccosx)に関して、係数を比較すると、
という条件をa, b, cは満たさなければならないことが分かる。
ここでは単純に比をとって、
と置けばよい。従って、チェビシェフの微分方程式：
が得られる。さらに、両辺にw(x)を掛けて、
とする。ここで、
より、
であることを考えると、
という形で書くことも出来る。
これは、スツルムリウビル型微分方程式：
において、
と置いた場合に他ならない。
フーリエ余弦級数展開：
において、右辺を2倍し、
an ≡ t n
と置くと、
となる。これがチェビシェフ多項式の母関数である。
これを変形して、
ここで、オイラーの公式：
を代入すると、
続いて、無限等比級数の和：
を用いて、
と変形出来る。但し、途中で再び、オイラーの公式：
を用いた。
従って、最終的に、チェビシェフ多項式の母関数：
を得る。
第1種チェビシェフ多項式Tn(x)と
同様のxの定義において、
Un (x) ≡ sin nθ
を考え、これを第2種チェビシェフ多項式
Un(x)と定義する(定義1)。
しかし、この定義だとsinθを根号で表す必要があり、有理整関数の形で書くことが出来ない。
そこで、第1種チェビシェフ多項式Tn(x)の
1階導関数において、
と定義すれば(定義2)、先程の式は
の様に表すことが出来る。
第2種チェビシェフ多項式Un(x)をこちらで定義しているテキストもある。
ところで、一部の数式処理ソフト等では、多項式の添え字と次数とを一致させる為に、
の様に第2種チェビシェフ多項式Un(x)を定義している(定義3)。
この場合、第1種チェビシェフ多項式Tn(x)との関係は、
となる。以上をまとめたものを次の表に示す。
| 定義1 | 定義2 | 定義3 |
|---|---|---|
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