これまで、述べてきた、エルミート多項式(Hermite polynomial)や
チェビシェフ多項式(Chebyshev polynomial)、
ルジャンドル多項式(Legendre polynomial)等は、
グラムシュミット(Gram-Schmidt)の直交化法による
導出が可能であること等の共通点を持つが、これらの多項式が満たす微分方程式は全て、
スツルムリウビル(Sturm-Liouville)型微分方程式と呼ばれる、微分方程式の一種である。
今回述べる、スツルムリウビル(Sturm-Liouville)型微分方程式であるが、
「スツルム」は、「シュツルム」や「シュトゥルム」、
「リウビル」は、「リウヴィル」や「リュービル」、
「リューヴィル」等の様に表記に揺らぎがある他、
「自己随伴演算子(エルミート演算子)」を用いたりして表せることから、
「自己随伴型」微分方程式等とも記されることがある。
この種の問題では、変分問題と固有値問題とが同等であるので、
一方の問題を解くのが難しいときに、他方の問題を解くという手法を可能にする。
ここでは、「スツルムリウビル型微分方程式」と表記するが、この微分方程式は、
という形をしている。固有値λn に対して、
固有関数fn が対応するという点は、
エルミート行列の固有値問題に酷似している。
また、この微分方程式において、p(x)、q(x)、
重み関数w(x)、λn等を変えることにより、
これまでに述べた、エルミートの微分方程式や
チェビシェフの微分方程式の他、
ルジャンドルの微分方程式やラゲールの微分方程式、
ベッセルの微分方程式等にも変形することが出来る。
ここでは、これらを変化させて、順にそれぞれの微分方程式を導出する。
と置くと、
となって、両辺をw(x)で割ると、エルミート(Hermite)の微分方程式:
が得られる。
と置くと、
となって、両辺をw(x)で割ると、チェビシェフ(Chebyshev) の微分方程式:
が得られる。
と置くと、
となって、ルジャンドル(Legendre) の微分方程式:
が得られる。
と置くと、
となって、両辺をw(x)で割ると、ラゲール(Laguerre) の微分方程式:
が得られる。
と置くと、
となって、両辺w(x)で割ると、ベッセル(Bessel) の微分方程式:
が得られる。
名称 | 区間 | p(x) | q(x) | λn | 重み関数w(x) |
---|---|---|---|---|---|
三角関数 | [0,2π] | 1 | 0 | 1 | 1 |
双曲線関数 | [0,2π] | 1 | 0 | -1 | 1 |
エルミート多項式 (Hermite polynomial) |
(-∞,∞) | exp(-x2) | 0 | 2n | exp(-x2) |
チェビシェフ多項式 (Chebyshev polynomial) |
[-1,1] | (1-x2)1 / 2 | 0 | n2 | (1-x2)-1 / 2 |
ルジャンドル多項式 (Legendre polynomial) |
[-1,1] | 1-x2 | 0 | n(n+1) | 1 |
ラゲール多項式 (Laguerre polynomial) |
[0,∞) | xe-x | 0 | n | e-x |
ベッセル関数 (Bessel function) |
[0,∞) | x | x | -n2 | 1 / x |
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