高次のモーメント(積率)と
モーメント母関数(積率母関数)

「二項分布・ポアソン分布・正規分布」において、
高次のモーメントを直接確率密度関数から導出するのは、
煩雑になるので、モーメント母関数を利用した方がよい、と述べた。
ここでは、最初に、モーメント(積率)やモーメント母関数(積率母関数)の
定義について述べるが、テキストによって表記が異なるので、
まずは、オリジナルの記号を用いて、これらを再定義することにする。
そして、モーメント母関数を用いても、高次のモーメントを
導出するのが煩雑な場合に、数式処理ソフト「Maxima」を利用して、
これらを計算する為のコマンドラインを載せてみた。




期待値とは何か

そもそも、期待値とは何か、というところからスタートすることにする。
ある任意の関数φ(x)の「期待値」とは、
その独立変数xの分布が、確率密度関数f(x)に従うとき、

で定義されるものであるとする。上は離散的な分布の場合、
下は連続的な分布の場合である。ここで、記号Eは、
期待値(expectation value)の頭文字に由来しているが、
テキストにより、鍵括弧の場合と丸括弧の場合があるようだ。
ここでは、鍵括弧の方が見やすいと思うので、こちらを利用する。
また、離散分布の場合は、確率密度関数f(x)は、
単に確率(probability)と呼び、p(x)と表記しているテキストもある。




原点周りのモーメント(積率)

次に、メインテーマである、「モーメント(積率)」とは何か。
実は、これには主に「原点周りのモーメント」と「平均値周りのモーメント」の
二通りの場合があり、混乱を招く可能性がある。

先に、前者の「原点周りのモーメント」の方から説明することにする。
先程の期待値の定義において、任意の関数φ(x)が、
冪乗の関数:xnであるとき、その期待値は、
E[xn]と表記できる筈であるが、
これを「原点周りのn次のモーメント(積率)」と呼ぶ。
ここでは、オリジナルの記号Enを用いて、

と定義する。先程と同様、上は離散的な分布の場合、
下は連続的な分布の場合である。ここで、E0は全確率の総和なので、
勿論1であり、E1は相加平均値のことに他ならない。
だが、平均値に関しては、テキストによって、

等と様々な表記がある。ギリシア文字の「μ」は、
平均値(mean)の頭文字である、ローマ字の「m」に対応しているので、
そのことに因んでいるようだ。離散的な分布の平均値は、
変数の上にバーを付けて表し、連続的な分布の平均値は、
山括弧で変数を括る形で区別しているテキストもあるようだが、
ここでは、E1に統一することにしたい。




平均値周りのモーメント(積率)

続いて、後者の「平均値周りのモーメント」について説明する。
一般的なテキストでは、単にn次のモーメントといった場合、
暗にこちらを指すことが多く、mn等と表記するが、
ここでは、オリジナルの記号Vnを用いる(理由は後述)。
前述の通り、平均値はE1(これもオリジナルの記号)
であるので、これを用いて、

と定義する。これまでと同様、
上は離散的な分布の場合、下は連続的な分布の場合である。
ここで、V0は、確率密度関数f(x)に
係る係数が1となる為、結局E0と同じであり、
V1は、偏差、或いは、残差の総和に相当するので、0である。

V2は、分散であるが、テキストによって、

等の様々な表記がある。ローマ字の「s」とギリシア文字の「σ」は、
対応関係にある。これらはどちらも、
標準偏差(standard deviation) の頭文字に因んでおり、
分散が、標準偏差の2乗であることを意味している。また、記号Vを用いたのは、
分散(variance)の頭文字に由来しているからである。

平均値周りの3次のモーメントm3
標準偏差の3乗σ3で割ったものは、
歪度(skewness)と呼ばれ、分布の左右対称性の目安としてよく使われる。
即ち、歪度:a3は、

と、オリジナルの記号を用いて表せる。σ3で割る理由は、
分子もσ3のオーダーなので、こうすれば単位によらない
無次元の値になるからである。

また、平均値周りの4次のモーメントm4
2次のモーメントm2の2乗との比を尖度(kurtosis)という。
即ち、尖度:a4もまた、

と、オリジナルの記号を用いて表せる。




モーメント母関数(積率母関数)

モーメント母関数(積率母関数)は、

で定義される。上は離散的な分布の場合、
下は連続的な分布の場合である。 E[eθx]とは、eθx
期待値という意味であるが、連続型の分布においては、
ある意味において、確率密度関数をf(x)に対する、
一種のラプラス変換である(ラプラス変換の積分範囲は、
半開区間[0,∞)で、指数部の符号はマイナスだが)、とみなせる。

このモーメント母関数を原点の周りでテイラー展開(マクローリン展開)すると、

となって、θに関する展開の係数として、
次々に原点周りのn次のモーメント:En
生み出す(generate)ので、母関数(generating function)と呼ばれるのである。
即ち、このM(θ)をθn回微分して、
θ=0を代入することで、機械的に、原点周りのモーメント:

が得られることを意味している。
平均値周りのモーメントは、それらを用いて、

と計算すればよい。




二項分布(ベルヌーイ分布)の
モーメント母関数(積率母関数)

二項分布(ベルヌーイ分布)の確率密度関数をf(x)は、

であったが、変数の種類が増えると煩雑になるので、pだけで式変形し、
qは、最後まで温存しておき、必要に応じて代入する方が望ましいだろう。
一応注意しておくと、このnは試行回数であって、モーメントの次数ではない。
紛らわしい場合は、どちらかの変数の文字を適宜変更した方がよいだろう。

モーメント母関数の定義と二項定理により、二項定理のモーメント母関数:

を得る。総和は、

であり、平均は、

であり、二乗の平均は、

であるから、これらを代入して、分散:

を得る。

モーメント母関数を用いても、二項分布(ベルヌーイ分布)の
3次以上のモーメントを導出するのは、煩雑である。
そこで、数式処理ソフト「Maxima」を利用して、
これらを計算する為のコマンドラインを以下に示す。
ここでは、θの代わりにtを用いた。
binomial : taylor((p*exp(t)+(1-p))^n,t,0,4);
E0 : coeff(binomial, t, 0)*0!;
E1 : coeff(binomial, t, 1)*1!;
E2 : coeff(binomial, t, 2)*2!;
E3 : coeff(binomial, t, 3)*3!;
E4 : coeff(binomial, t, 4)*4!;
V2 : E2-2*E1*E1+E1^2*E0;
V3 : E3-3*E1*E2+3*E1^2*E1-E1^3*E0;
V4 : E4-4*E1*E3+6*E1^2*E2-4*E1^3*E1+E1^4*E0;
SKEW : V3/(sqrt(V2)^3);
KURT : V4/V2^2;
これに従って計算した結果(勿論そのままではなく、
多少の修正を施した)を、次の表に示す。
二項分布 原点周り 平均値周り
0次のモーメント 1 1
1次のモーメント np 0
2次のモーメント n(n-1)p2np np(1-p)
3次のモーメント n(n-1)(n-2)p3
+3n(n-1)p2np
np(1-p)(1-2p)
4次のモーメント n(n-1)(n-2)(n-3)p4
+6n(n-1)(n-2)p3
+7n(n-1)p2np
np(1-p){1+3(n-2)p(1-p)}




ポアソン分布のモーメント母関数(積率母関数)

ポアソン分布の確率密度関数をf(x)は、

であったので、これをモーメント母関数の定義式に代入すると、
指数関数のマクローリン展開より、

を得る。総和は、

であり、平均は、

であり、二乗の平均は、

であるから、これらを代入して、分散:

を得る。

モーメント母関数を用いても、ポアソン分布の
3次以上のモーメントを導出するのは、煩雑である。
そこで、数式処理ソフト「Maxima」を利用して、
これらを計算する為のコマンドラインを以下に示す。
ここでは、θの代わりにtλの代わりにuを用いた。
poisson : taylor(exp(-u)*exp(u*exp(t)),t,0,4);
E0 : coeff(poisson, t, 0)*0!;
E1 : coeff(poisson, t, 1)*1!;
E2 : coeff(poisson, t, 2)*2!;
E3 : coeff(poisson, t, 3)*3!;
E4 : coeff(poisson, t, 4)*4!;
V2 : E2-2*E1*E1+E1^2*E0;
V3 : E3-3*E1*E2+3*E1^2*E1-E1^3*E0;
V4 : E4-4*E1*E3+6*E1^2*E2-4*E1^3*E1+E1^4*E0;
SKEW : V3/(sqrt(V2)^3);
KURT : V4/V2^2;
これに従って計算した結果(勿論そのままではなく、
多少の修正を施した)を、次の表に示す。
ポアソン分布 原点周り 平均値周り
0次のモーメント 1 1
1次のモーメント λ 0
2次のモーメント λ2λ λ
3次のモーメント λ3+3λ2λ λ
4次のモーメント λ4+6λ3+7λ2λ 3λ2λ




正規分布(ガウス分布)の
モーメント母関数(積率母関数)

正規分布(ガウス分布)の確率密度関数は、

であったので、これをモーメント母関数の定義式に代入すると、

を得る。指数部分を式変形して平方完成し、
xに依らない部分を分離すると、

となる。ここで、

と置くと、ガウス積分の公式より、

を得る。総和は、

であり、平均は、

であり、二乗の平均は、

であるから、これらを代入して、分散:

を得る。

モーメント母関数を用いても、正規分布(ガウス分布)の
3次以上のモーメントを導出するのは、煩雑である。
そこで、数式処理ソフト「Maxima」を利用して、
これらを計算する為のコマンドラインを以下に示す。
ここでは、θの代わりにtμの代わりにmσの代わりにsを用いた。
normal : taylor((exp(m*t+(s^2)*(t^2)/2)),t,0,4);
E0 : coeff(normal, t, 0)*0!;
E1 : coeff(normal, t, 1)*1!;
E2 : coeff(normal, t, 2)*2!;
E3 : coeff(normal, t, 3)*3!;
E4 : coeff(normal, t, 4)*4!;
V2 : E2-2*E1*E1+E1^2*E0;
V3 : E3-3*E1*E2+3*E1^2*E1-E1^3*E0;
V4 : E4-4*E1*E3+6*E1^2*E2-4*E1^3*E1+E1^4*E0;
SKEW : V3/(sqrt(V2)^3);
KURT : V4/V2^2;
これに従って計算した結果(勿論そのままではなく、
多少の修正を施した)を、次の表に示す。
正規分布 原点周り 平均値周り
0次のモーメント 1 1
1次のモーメント μ 0
2次のモーメント μ2σ2 σ2
3次のモーメント μ3+3σ2μ 0
4次のモーメント μ4 +6σ2μ2+3σ4 3σ4

標準正規分布:

のモーメント母関数もまた、
正規分布のモーメント母関数において、
平均値μ=0、分散σ2=1とすることで、

が得られる。


Shadow Academy トップへ戻る

inserted by FC2 system