ロジスティック写像

繁殖率:a ( 0 ≤ a ≤ 4.0 )
個体数の初期値:x0 ( 0 ≤ x0 ≤ 1 )



ロジスティック写像とは何か?

ロジスティック写像とは、生物の個体数の時系列に対する変遷のモデルであり、
繁殖率をa、第n世代の生物の個体数をxnとすると、
n+1世代の生物の個体数をxn+1は、漸化式:
xn+1axn ( 1-xn )
で表される。但し、繁殖率は、0 ≤ a ≤ 4.0 の範囲、
個体数の初期値は、0 ≤ x0 ≤ 1 の範囲である。
ここでは、JavaScriptによるスクリプトプログラムとグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、
ax0との組み合わせによる個体数の変遷及び、カオスの出現する条件を調べる。




スクリプトプログラムの使い方

繁殖率a と個体数の初期値x0を入力後、「時系列変化」ボタンを押すと、
新しいページにデータが生成されるので、そこで、「全て選択」して、
テキストエディタを起動して、ファイルにコピーペーストし、名前を付けて保存する。
例えば、Cドライブ以下のtempフォルダに「logisticmap1.dat」という名前で保存した場合、
これをグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化するには、
gnuplotを起動して、以下のコマンドを入力する。
すると、横軸が時間t、縦軸が個体数xtで表された、
個体数の変遷のグラフが生成される。
set terminal png
set xrange[0:100]
set yrange[0:1]
set output 'c:\temp\logisticmap1.png'
plot 'c:\temp\logisticmap1.dat' with lines
exit

また、個体数の初期値x0を入力後、「分岐図」ボタンを押すと、
やはり新しいページにデータ(4万個以上生成されるので注意)が生成されるので、
同様に、「全て選択」して、テキストエディタを起動して、ファイルにコピーペーストし、
名前を付けて保存する。例えば、Cドライブ以下のtempフォルダに
「logisticmap2.dat」という名前で保存した場合、
これをグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化するには、
gnuplotを起動して、以下のコマンドを入力する。
すると、横軸が繁殖率a、縦軸が個体数xtで表されたグラフが生成される。
このグラフは「分岐図」と呼ばれている。
set terminal png
set xrange [0:4]
set yrange [0:1]
set output 'c:\temp\logisticmap2.png'
plot 'c:\temp\logisticmap2.dat' with dots
exit

また、繁殖率a と個体数の初期値x0を入力後、「リターンマップ」ボタンを押すと、
やはり新しいページにデータが生成されるので、同様に、「全て選択」して、
テキストエディタを起動して、ファイルにコピーペーストし、名前を付けて保存する。
例えば、Cドライブ以下のtempフォルダに「logisticmap3.dat」という名前で保存した場合、
これをグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化するには、
gnuplotを起動して、以下のコマンドを入力する。(以下は、繁殖率a=3.5の場合)
すると、横軸が個体数xt 、 縦軸が個体数xt+1 で表されたグラフが生成される。
このグラフは「リターンマップ」と呼ばれている。
set terminal png
set xrange [0:1]
set yrange [0:1]
a=3.5
set output 'c:\temp\logisticmap3.png'
plot 'c:\temp\logisticmap3.dat' with lines, x, a*x*(1-x)
exit




具体例

ここでは、一律に個体数の初期値は、x0=0.040 に固定し、
繁殖率a の値のみを0.8、1.6、2.4、3.2、3.5、3.8、4.0と変化させて、
横軸が時間t、縦軸が個体数xtで表された「時系列変化」、
横軸が繁殖率a、縦軸が個体数xtで表された「分岐図」、
横軸が個体数xt 、縦軸が 個体数xt+1 で表された「リターンマップ」
をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。




時系列変化

a=0.8
a=1.6
a=2.4
a=3.2
a=3.5
a=3.8
a=4.0




分岐図




リターンマップ

a=0.8
a=1.6
a=2.4
a=3.2
a=3.5
a=3.8
a=4.0




考察

ロジスティック写像の振る舞いは、繁殖率a の値に依存する。
例えば、繁殖率a が0 ≤ a ≤ 1では種は絶滅する。
また、繁殖率a が境界点a=3.56995…≈3.57
を超えると、「カオス」が出現する。この境界点aは、
「ファイゲンバウム点」と呼ばれている。
詳細は、以下の表にまとめておく。
0 ≤ a ≤ 1 「0」に単調に収束する(つまり、絶滅する)
1 ≤ a ≤ 2 「1-1/a」に単調に収束する
2 ≤ a ≤ 3 「1-1/a」に振動しながら収束する
3 ≤ a ≤ 1+√6 (≈3.45) 2点間を周期的に振動する(2周期振動)
1+√6 (≈3.45) ≤ aa(≈3.57) 「2」の冪乗の周期点を振動する
a(≈3.57) ≤ a ≤ 4 変動は不規則になり、特定の周期を持たない
(カオスが出現する)


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