ラグランジュの運動方程式

変分法の解析力学への応用として、
ラグランジュの運動方程式を考える。
まず最初に、オイラー・ラグランジュ方程式を導出した後、
様々なラグランジアンに対して、これを適用する。具体的には、
  • 単振動
  • 単振り子
  • LC回路
の方程式を導出する。また、同様の手順で、より複雑な
「二重振り子の運動方程式」 も導出することが出来る。


オイラー・ラグランジュ方程式

関数y(x)に対して、

という形で、微小なズレを関数η(x)として定義する。
ここで、積分汎関数:

が極値をとる為の条件は、これを微小量ε
微分したものが0になることなので、部分積分より、

を得る。但し、境界条件として、η(x)は積分区間の両端で0であるとした。
従って、次の微分方程式を得る。

この微分方程式は、オイラー・ラグランジュ方程式と呼ばれる。




単振動

ラグランジアンℒを

の様に定義すると、ラグランジアンℒは、

であり、これに対するオイラー・ラグランジュ方程式は、

となる。解析力学においては、この微分方程式を
ラグランジュの運動方程式と呼ぶ。これを解くと、

という結果を得る。これは、2階微分方程式:

の形で表すことが出来る。




単振り子

続いて、ラグランジアンℒを

の様に定義する。水平方向にx軸、鉛直下向きにy軸を取ると、
x座標、y座標及びそれぞれの方向の速度、
運動エネルギーK、ポテンシャルエネルギーUは、

となるので、ラグランジアンℒは、

であり、これに対するラグランジュの運動方程式は、

となる。これを解くと、

という結果を得る。これは、2階微分方程式:

の形で表すことが出来るが、ここで、微小振動の場合、 sinθθと近似出来る。
これは、先程の2階微分方程式と同様の形となり、「角単振動」と呼ばれる。
微小振動として近似しない場合、単振り子の等時性は破られ、
その周期は、楕円積分によって表される。




LC回路

今度は、ラグランジアンℒを

の様に定義すると、ラグランジアンℒは、

であり、これに対するオイラー・ラグランジュ方程式は、

となり、電磁気学においても、オイラー・ラグランジュ方程式を
適用することが出来る。但し、この微分方程式は回路方程式であるので、
これをラグランジュの運動方程式とは呼ばないであろうが。これを解くと、

という結果を得る。これは、2階微分方程式:

の形で表すことが出来る。


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