ラグランジュの運動方程式

変分法の解析力学への応用として、
ラグランジュの運動方程式を考える。
まず最初に、オイラー・ラグランジュ方程式を導出した後、
様々なラグランジアンに対して、これを適用する。具体的には、

次に、現実の単振動（調和振動）は、減衰振動になり、
LC回路は、RLC直列回路になること、及び、それらを
2階同次線形常微分方程式として立式した際の解法について述べる。

オイラー・ラグランジュ方程式

関数y(x)に対して、

という形で、微小なズレを関数η(x)として定義する。
ここで、積分汎関数：

が極値をとる為の条件は、これを微小量εで
微分したものが0になることなので、部分積分より、

を得る。但し、境界条件として、η(x)は積分区間の両端で0であるとした。
従って、次の微分方程式を得る。

この微分方程式は、オイラー・ラグランジュ方程式と呼ばれる。

単振動（調和振動）

ラグランジアンℒを

の様に定義すると、ラグランジアンℒは、

であり、これに対するオイラー・ラグランジュ方程式は、

となる。解析力学においては、この微分方程式を
ラグランジュの運動方程式と呼ぶ。これを解くと、

という結果を得る。これは、2階微分方程式：

の形で表すことが出来る。

単振り子

続いて、ラグランジアンℒを

の様に定義する。水平方向にx軸、鉛直下向きにy軸を取ると、
x座標、y座標及びそれぞれの方向の速度、
運動エネルギーK、ポテンシャルエネルギーUは、

となるので、ラグランジアンℒは、

であり、これに対するラグランジュの運動方程式は、

となる。これを解くと、

という結果を得る。これは、2階微分方程式：

の形で表すことが出来るが、ここで、微小振動の場合、 sinθ ≈ θと近似出来る。
これは、先程の2階微分方程式と同様の形となり、「角単振動」と呼ばれる。
微小振動として近似しない場合、単振り子の等時性は破られ、
その周期は、楕円積分によって表される。

LC回路

今度は、ラグランジアンℒを

の様に定義すると、ラグランジアンℒは、

であり、これに対するオイラー・ラグランジュ方程式は、

となり、電磁気学においても、オイラー・ラグランジュ方程式を
適用することが出来る。但し、この微分方程式は回路方程式であるので、
これをラグランジュの運動方程式とは呼ばないであろうが。これを解くと、

という結果を得る。これは、2階微分方程式：

の形で表すことが出来る。

理想と現実

上記で述べた、単振動（調和振動）や、LC回路は、
抵抗や電気抵抗が存在しない理想的な状態であり、
相空間（位相空間）に時間経過を可視化した際、状態は「保存系」となる。
しかし、現実においては、単振動（調和振動）は、
空気抵抗や摩擦による抵抗が発生して、減衰振動になるし、
LC回路は、電気抵抗が発生する為に、実際は、RLC直列回路となる。
従って、相空間（位相空間）において状態は「散逸系」となり、
これを「保存系」にする為には、外部から力を加えて、
「強制振動」させたり、回路に電圧を印加したり等する必要がある。

微分方程式の解法

減衰振動の運動方程式や、
RLC直列回路の回路方程式は、
2階同次線形常微分方程式となる。
「強制振動」や、回路に電圧を印加した場合は、
「非同次」型の微分方程式になる。
また、単振り子は、微小振動として近似しない場合、
sinθを含む為、「非線形」の微分方程式となり、
解析的に解くには、楕円積分や 楕円関数の知識が必要となる。
微分方程式を分類する用語について、
以下の表に簡単にまとめてみた。

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