無限乗積展開と部分分数展開
三角関数は、総和記号を用いて、テイラー展開やマクローリン展開で表せるが、
ゼータ関数の様に、総和記号だけでなく、総積記号を用いて表すことも出来る。
これを三角関数の無限乗積展開と呼ぶ。双曲線関数と三角関数との関係を用いれば、
双曲線関数の無限乗積展開も導出することが出来る。
また、無限乗積展開の式において、両辺の自然対数をとって、
xで微分すると、三角関数の部分分数展開を得る。
三角関数の無限乗積展開
正弦関数のテイラー展開の意義は、
無限級数の和を総和記号で表すことにあった。
では、正弦関数を因数分解して、
無限乗積を総積記号で表したらどうなるであろうか。
正弦関数は、
という性質があるから、係数をα として、
と因数分解出来ると仮定する。
ところで、この係数α は、
テイラー展開におけるx の一次の項の係数が1なので、
係数比較により、
であるから、
となる。ここで、x の代わりにπx を代入して、
としてもよい。
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png set xrange[-5:5] set yrange[-5:5] set xtics 0.5 set ytics 0.5 set grid iposinn1(x)=pi*x*(1-x**2/1**2) iposinn2(x)=iposinn1(x)*(1-x**2/2**2) iposinn3(x)=iposinn2(x)*(1-x**2/3**2) iposinn4(x)=iposinn3(x)*(1-x**2/4**2) plot sin(pi*x) replot pi*x replot iposinn1(x) title "n=1" replot iposinn2(x) title "n=2" replot iposinn3(x) title "n=3" set output 'c:\temp\infinprodofsinpixgraph.png' replot iposinn4(x) title "n=4" exit |
余弦関数も同様に、係数をβ として、
と因数分解出来ると仮定する。
また、この係数β は、テイラー展開における定数項の係数が1なので、
係数比較により、
であるから、
となる。ここで、x の代わりにπ x を代入して、
としているテキストも多い。
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png set xrange[-5:5] set yrange[-5:5] set xtics 0.5 set ytics 0.5 set grid ipocosn1(x)=1*(1-4*x**2/1**2) ipocosn2(x)=ipocosn1(x)*(1-4*x**2/3**2) ipocosn3(x)=ipocosn2(x)*(1-4*x**2/5**2) ipocosn4(x)=ipocosn3(x)*(1-4*x**2/7**2) plot cos(pi*x) replot 1 replot ipocosn1(x) title "n=1" replot ipocosn2(x) title "n=2" replot ipocosn3(x) title "n=3" set output 'c:\temp\infinprodofcospixgraph.png' replot ipocosn4(x) title "n=4" exit |
双曲線関数の無限乗積展開
三角関数の無限乗積展開に対して、双曲線関数と三角関数との関係を用いれば、
双曲線関数の無限乗積展開も導出することが出来る。
より、
の関係が示せるから、
或いは、xの代わりに、π xを代入して、
としてもよい。
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png set xrange[-10:10] set yrange[-500:500] set xtics 1 set ytics 50 set grid iposinhn1(x)=pi*x*(1+x**2/1**2) iposinhn2(x)=iposinhn1(x)*(1+x**2/2**2) iposinhn3(x)=iposinhn2(x)*(1+x**2/3**2) iposinhn4(x)=iposinhn3(x)*(1+x**2/4**2) plot sinh(pi*x) replot pi*x replot iposinhn1(x) title "n=1" replot iposinhn2(x) title "n=2" replot iposinhn3(x) title "n=3" set output 'c:\temp\infinprodofsinhpixgraph.png' replot iposinhn4(x) title "n=4" exit |
また、
より、
の関係が示せるから、
或いは、xの代わりに、π xを代入して、
としてもよい。
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png set xrange[-10:10] set yrange[-10:210] set xtics 1 set ytics 10 set grid ipocoshn1(x)=1*(1+4*x**2/1**2) ipocoshn2(x)=ipocoshn1(x)*(1+4*x**2/3**2) ipocoshn3(x)=ipocoshn2(x)*(1+4*x**2/5**2) ipocoshn4(x)=ipocoshn3(x)*(1+4*x**2/7**2) plot cosh(pi*x) replot 1 replot ipocoshn1(x) title "n=1" replot ipocoshn2(x) title "n=2" replot ipocoshn3(x) title "n=3" set output 'c:\temp\infinprodofcoshpixgraph.png' replot ipocoshn4(x) title "n=4" exit |
三角関数の部分分数展開
総積記号から総和記号へ変換する為に、
sinπ xの無限乗積展開の式において、
両辺の自然対数をとると、
lnAB＝lnA＋lnBより、
となる。次に、対数関数を消去する為に、両辺をxで微分すると、
となる。
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png set xrange[-3:3] set yrange[-3:3] set xtics 0.5 set ytics 0.5 set grid picotpixn1(x)=1/x+2*x/(x**2-1**2) picotpixn2(x)=picotpixn1(x)+2*x/(x**2-2**2) picotpixn3(x)=picotpixn2(x)+2*x/(x**2-3**2) picotpixn4(x)=picotpixn3(x)+2*x/(x**2-4**2) plot pi/tan(pi*x) title "pi*cot(pi*x)" replot 1/x replot picotpixn1(x) title "n=1" replot picotpixn2(x) title "n=2" replot picotpixn3(x) title "n=3" set output 'c:\temp\picotpixgraph.png' replot picotpixn4(x) title "n=4" exit |
また、cosπ xの無限乗積展開の式においても同様にして、
両辺の自然対数をとると、
となる。続いて、両辺をxで微分すると、
となる。
上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）
set terminal png set xrange[-3:3] set yrange[-3:3] set xtics 0.5 set ytics 0.5 set grid pitanpixn0(x)=-2*x/(x**2-(1.0/2)**2) pitanpixn1(x)=pitanpixn0(x)-2*x/(x**2-(3.0/2)**2) pitanpixn2(x)=pitanpixn1(x)-2*x/(x**2-(5.0/2)**2) pitanpixn3(x)=pitanpixn2(x)-2*x/(x**2-(7.0/2)**2) pitanpixn4(x)=pitanpixn3(x)-2*x/(x**2-(9.0/2)**2) plot pi*tan(pi*x) replot pitanpixn0(x) title "n=0" replot pitanpixn1(x) title "n=1" replot pitanpixn2(x) title "n=2" replot pitanpixn3(x) title "n=3" set output 'c:\temp\pitanpixgraph.png' replot pitanpixn4(x) title "n=4" exit |
