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エルミート多項式

エルミート多項式(Hermite polynomial)は、 スツルムリウビル型微分方程式の一つである、
エルミートの微分方程式を満たす多項式Hn(x)のことをいう。
ここでは、まず最初に、母関数からロドリーグ(Rodrigues)の公式及び漸化式を導出する。
※文献によって表記揺れがあり、ロドリーグの公式は、ロドリゲスの公式と呼ばれる場合もある。
次に、両者から多項式を求め、続いて、漸化式からエルミートの微分方程式を導出する。
また、逆に、ロドリーグの公式から母関数を導出し、さらに、エルミート多項式の直交性を示して、
その応用として、1次元調和振動子の固有関数のグラフを示すという方針をとる。
そして、最後に、物理数学の書籍と情報数学の書籍で、
異なる定義が採用されていたことにも言及しておく。



母関数からロドリーグの公式

エルミート多項式の母関数は、

で定義される。これに、重み関数w(x)：

を掛けた関数：

を定義する。これをt＝0のまわりでテイラー展開すると、

となるから、これを母関数と比較すれば、

となるので、

を得る。ところで、f(t, x)を t, xでそれぞれ偏微分すると、

となるので、

が成り立ち、n回の偏微分では、

が成立する。従って、

と変形し、最終的にロドリーグの公式：

を得る。これを用いて、n＝0, 1のときの エルミート多項式を計算すると、

を得る。



母関数から漸化式
漸化式からエルミートの微分方程式

今度は、母関数g(t, x)を t, xでそれぞれ偏微分すると、

前者より、

となる。ここで、tnの冪を揃える為に、
右辺でn→n＋1、左辺第2項でn→n－1とすると、

これが任意のtについて成立する為には、
tnの係数が等しくなければならないから、

両辺にn! を掛けて、

が得られる。これを用いて、 n＝2, 3, 4, 5のときの
エルミート多項式を計算すると、

同様にして、後者において、左辺でn→n－1とすると、

これが任意のtについて成立する為には、
tnの係数が等しくなければならないから、

両辺にn! を掛けて、

が得られる。これを先程得た式と合わせると、

となるが、さらにこの式の両辺をxで微分すると、

ここで、次数を揃える為に、

と置くと、

となるから、エルミートの微分方程式：

が得られる。さらに、両辺にw(x)を掛けて、

とする。ここで、

であることを考えると、

という形で書くことも出来る。
これは、スツルムリウビル型微分方程式：

において、

と置いた場合に他ならない。



ロドリーグの公式から母関数

グルサ(Goursat)の定理：

より、ロドリーグの公式を変形すると、

となるので、母関数の定義より、

の様に変形できる。ここで、無限等比級数の和：

を用いて、留数定理(residue theorem)より、

となって、最終的にエルミート多項式の母関数：

を得る。



エルミート多項式の直交性とその応用

今、添え字の異なる2つのエルミート多項式の母関数：

を考える。両者の積に重み関数w(x)を掛けて、 区間(－∞, ∞)で積分すると、

となる。ここで、

であるから、ガウス積分及び指数関数のマクローリン展開より、

という形に式変形することが出来る。
但し、δmnは、クロネッカーのデルタであり、

である。ここで、tmsnの係数を比較すると、
エルミート多項式の直交性：

を示すことが出来る。ここで、m＝nのとき、

であるから、

と置くと、これは1次元調和振動子の固有関数に他ならない。

これをグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）

set terminal png
set xrange[-5:5]
set yrange[-1:1]
set xtics 0.5
set ytics 0.1
set grid
h0(x)=1
h1(x)=2*x
h2(x)=4*x**2-2
h3(x)=8*x**3-12*x
h4(x)=16*x**4-48*x**2+12
h5(x)=32*x**5-160*x**3+120*x
un(n)=1/sqrt(sqrt(pi)*2**n*n!)
u0(x)=h0(x)*un(0)*exp(-x**2/2)
u1(x)=h1(x)*un(1)*exp(-x**2/2)
u2(x)=h2(x)*un(2)*exp(-x**2/2)
u3(x)=h3(x)*un(3)*exp(-x**2/2)
u4(x)=h4(x)*un(4)*exp(-x**2/2)
u5(x)=h5(x)*un(5)*exp(-x**2/2)
plot u0(x)
replot u1(x)
replot u2(x)
replot u3(x)
replot u4(x)
set output 'c:\temp\hermitegraph.png'
replot u5(x)
exit
この方法により生成したグラフを以下に示す。



エルミート多項式のもう1つの定義

そして、とても紛らわしいことに、エルミート多項式の定義には、複数の流儀があるようだ。
ここまで上述の定義(これを「定義1」としよう)に従って計算してきたし、
物理数学の書籍の殆どが、同様の定義で記載されていることから、
おそらくこちらの定義が主流であるだろうと思われる。ただ、情報数学など、
他の分野の書籍によっては、重み関数w(x)が、

の形で定義(こちらを「定義2」とする)されているものがあった。
この場合、直交関係：

が成立し、ロドリーグの公式は、次の様になる。

これを用いて、n＝0, 1, 2, 3, 4, 5のときの
エルミート多項式を具体的に計算すると、
H0(x)＝1
H1(x)＝x
H2(x)＝x2－1
H3(x)＝x3－3x
H4(x)＝x4－6x2＋3
H5(x)＝x5－10x3＋15x
 となる。以上をまとめたものを次の表に示す。

定義1 定義2
重み関数w(x) e－x2 e－x2/2
直交関係
ロドリーグの公式
n＝0, 1, 2, 3, 4, 5のときの
エルミート多項式 		H0(x)＝1
H1(x)＝2x
H2(x)＝4x2－2
H3(x)＝8x3－12x
H4(x)＝16x4－48x2＋12
H5(x)＝32x5－160x3＋120x		 H0(x)＝1
H1(x)＝x
H2(x)＝x2－1
H3(x)＝x3－3x
H4(x)＝x4－6x2＋3
H5(x)＝x5－10x3＋15x



参考文献

  1. 「物理のための応用数学」（裳華房、1988年）
    ※「定義1」の形式で、エルミート多項式が定義されている。
  2. 「これなら分かる応用数学教室―最小二乗法からウェーブレットまで」（共立出版、2003年）
    ※「定義2」の形式で、エルミート多項式が定義されている。


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