フーリエ級数展開とパーセバルの等式による
ゼータ関数等の特殊値の導出

グラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、
フーリエ級数展開(Fourier series expansion)をグラフに描いてみた。
一般に、周期2Lの関数f(x)のフーリエ級数展開及び、 そのフーリエ係数anbnは、

で表される。いずれの関数のグラフも 水色茶色
の順に近似の精度が高くなっている事が理解できるだろう。
これらのグラフからは、フーリエ級数展開が垂直方向への補正による、
「vertical」な近似であるという印象を受ける。

また、フーリエ級数展開の式の両辺にf(x)を掛けて、
閉区間[-L, L]で積分し、右辺の各項に
L×1/Lを掛けるという式変形を行うと、

となる。ここで、中括弧で囲った部分をそれぞれ、
フーリエ係数と比較すると、順に a0, an, bn で表せることを用いた。
両辺に1/Lを掛けて書き直すと、

という関係が成立する。これをパーセバル(Parseval)の等式と呼ぶ。

ここで、今回の目的である、リーマンのゼータ関数 (Riemann's zeta function):ζ(s)や
ディリクレのイータ関数(Dirichlet's eta function):η(s)等に関しても、
予め先に定義しておくことにしよう。

奇数項のみのゼータ関数と、その交代級数に関しては、
定義に用いるアルファベット記号は、特に決められていない所為か、
テキストによって記号が異なるが、他のギリシャ文字のアルファベットを
自身の名前に冠する特殊関数と、重複しさえしなければ、自由に決めて構わないだろう。
ここでは、奇数項のみのゼータ関数をλ(s)で、 その交代級数をε(s)で定義することにした。
※単に、奇数ゼータと書くと、sが奇数のゼータ関数の特殊値ζ(2n-1)と
紛らわしい為、λ(s)は、「奇数項のみのゼータ関数」と表現した。

また、ζ(s)、η(s)、λ(s)の間には、 以下のような関係がある。

ζ(s)とη(s)の差から、 η(s)は、ζ(s)を用いて表すことができるし、
ζ(s)とη(s)の和から、 λ(s)も、ζ(s)を用いて表すことができる。




階段関数(矩形波)のフーリエ級数展開

テキストによっては、矩形波以外に、方形波と書いてあったり、
階段関数を符号関数sgnxと記しているものもある。
階段関数は、符号関数を定数倍したり、平行移動したものであり、
即ち、符号関数は、階段関数の一種であるといえる。
ここでは、階段関数として、次式の様な符号関数f(x)=sgnxを考えることにしよう。

f(x)は奇関数なので、an=0となって、フーリエ正弦級数の式が適用できる。

従って、L=1のときのf(x)のフーリエ級数展開は次式で表される。

上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
(勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。)

set terminal png
set xrange[-3:3]
set yrange[-3:3]
set xtics 0.5
set ytics 0.5
set grid
fosfn1(x)=sin(pi*x)
fosfn2(x)=fosfn1(x)+sin(3*pi*x)/3
fosfn3(x)=fosfn2(x)+sin(5*pi*x)/5
fosfn4(x)=fosfn3(x)+sin(7*pi*x)/7
fosfn5(x)=fosfn4(x)+sin(9*pi*x)/9
fosfn6(x)=fosfn5(x)+sin(11*pi*x)/11
plot 4/pi*fosfn1(x) title "n=1"
replot 4/pi*fosfn2(x) title "n=2"
replot 4/pi*fosfn3(x) title "n=3"
replot 4/pi*fosfn4(x) title "n=4"
replot 4/pi*fosfn5(x) title "n=5"
set output 'c:\temp\fourierofstepfunc.png'
replot 4/pi*fosfn6(x) title "n=6"
exit
この方法により生成したグラフを以下に示す。

これは矩形波(Square wave)或いは方形波と呼ばれ、クラリネット等の音を近似する。
この場合、山と谷の大きさは一対一だが、この比率を変えたものをパルス波(Pulse wave)と呼び、
トランペットやオーボエ等の音色はこちらで近似される。 また、ここでx=1/2とすると、

となる。これは、上記のε(s)で、s=1の場合に相当し、
グレゴリー(Gregory)級数、ライプニッツ(Leibniz)級数、
或いはマーダヴァの級数と呼ばれている。

さらに、パーセバルの等式を用いると、

が成立し、ここでL=1とすると、

であるから、上記のλ(s)で、s=2の場合に相当し、

を得る。




f(x)=x(鋸歯状波)のフーリエ級数展開

f(x)=x (-L < x < L)
f(x)は奇関数なので、an=0となって、フーリエ正弦級数の式が適用できる。

従って、L=1のときのf(x)=xのフーリエ級数展開は次式で表される。

上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
(勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。)

set terminal png
set xrange[-3:3]
set yrange[-3:3]
set xtics 0.5
set ytics 0.5
set grid
fox1n1(x)=sin(pi*x)
fox1n2(x)=fox1n1(x)-sin(2*pi*x)/2
fox1n3(x)=fox1n2(x)+sin(3*pi*x)/3
fox1n4(x)=fox1n3(x)-sin(4*pi*x)/4
fox1n5(x)=fox1n4(x)+sin(5*pi*x)/5
fox1n6(x)=fox1n5(x)-sin(6*pi*x)/6
plot 2/pi*fox1n1(x) title "n=1"
replot 2/pi*fox1n2(x) title "n=2"
replot 2/pi*fox1n3(x) title "n=3"
replot 2/pi*fox1n4(x) title "n=4"
replot 2/pi*fox1n5(x) title "n=5"
set output 'c:\temp\fourierofx1.png'
replot 2/pi*fox1n6(x) title "n=6"
exit
この方法により生成したグラフを以下に示す。

これは鋸歯状波(Sawtooth wave)或いは単にノコギリ波(Saw wave)と呼ばれ、
チェロやバイオリン等の音を近似する。また、ここでx=1/2とすると、

となって、やはりグレゴリー(Gregory)級数、ライプニッツ(Leibniz)級数、
或いはマーダヴァの級数と呼ばれている公式

導かれる(再掲)。

さらに、パーセバルの等式を用いると、

が成立し、ここでL=1とすると、

であるから、ゼータ関数:ζ(s)で、s=2とした場合に相当し、

という式が得られる。




f(x)=|x|(三角波)のフーリエ級数展開

f(x)=|x| (-L < x < L)
f(x)は偶関数なので、bn=0となって、フーリエ余弦級数の式が適用できる。

また、n=0のとき、

従って、L=1のときのf(x)=|x|のフーリエ級数展開は次式で表される。

上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
(勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。)

set terminal png
set xrange[-3:3]
set yrange[-3:3]
set xtics 0.5
set ytics 0.5
set grid
foaxn1(x)=cos(1*pi*x)/1**2
foaxn2(x)=foaxn1(x)+cos(3*pi*x)/3**2
foaxn3(x)=foaxn2(x)+cos(5*pi*x)/5**2
foaxn4(x)=foaxn3(x)+cos(7*pi*x)/7**2
foaxn5(x)=foaxn4(x)+cos(9*pi*x)/9**2
plot 1.0/2 title "n=0"
replot 1.0/2-4/pi**2*foaxn1(x) title "n=1"
replot 1.0/2-4/pi**2*foaxn2(x) title "n=2"
replot 1.0/2-4/pi**2*foaxn3(x) title "n=3"
replot 1.0/2-4/pi**2*foaxn4(x) title "n=4"
set output 'c:\temp\fourierofabsx.png'
replot 1.0/2-4/pi**2*foaxn5(x) title "n=5"
exit
この方法により生成したグラフを以下に示す。

これは三角波(Triangle wave)と呼ばれ、口笛やフルート等の音色を近似する。
また、ここでx=0及び、x=1とすると、

となるから、

が導かれる(再掲)。

さらに、パーセバルの等式を用いると、

が成立し、ここでL=1とすると、

であるから、

を得る。




f(x)x2のフーリエ級数展開

f(x)=x2 (-L < x < L)
f(x)は偶関数なので、bn=0となって、フーリエ余弦級数の式が適用できる。

また、n=0のとき、

従って、L=1のときのf(x)x2のフーリエ級数展開は次式で表される。

上記の結果をグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
(勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。)

set terminal png
set xrange[-3:3]
set yrange[-3:3]
set xtics 0.5
set ytics 0.5
set grid
fox2n1(x)=cos(1*pi*x)/1**2
fox2n2(x)=fox2n1(x)-cos(2*pi*x)/2**2
fox2n3(x)=fox2n2(x)+cos(3*pi*x)/3**2
fox2n4(x)=fox2n3(x)-cos(4*pi*x)/4**2
fox2n5(x)=fox2n4(x)+cos(5*pi*x)/5**2
plot 1.0/3 title "n=0"
replot 1.0/3-4/pi**2*fox2n1(x) title "n=1"
replot 1.0/3-4/pi**2*fox2n2(x) title "n=2"
replot 1.0/3-4/pi**2*fox2n3(x) title "n=3"
replot 1.0/3-4/pi**2*fox2n4(x) title "n=4"
set output 'c:\temp\fourierofx2.png'
replot 1.0/3-4/pi**2*fox2n5(x) title "n=5"
exit
この方法により生成したグラフを以下に示す。

ここで、x=0のとき、

であるから、イータ関数:η(s)で、s=2とした場合に相当し、

という式が得られる。また、x=1のとき、

であるから、ゼータ関数:ζ(s)で、s=2とした場合、即ち、

が導かれる(再掲)。

さらに、パーセバルの等式を用いると、

が成立し、ここでL=1とすると、

であるから、ゼータ関数:ζ(s)で、s=4とした場合に相当し、

という式が得られる。




f(x)x3のフーリエ級数展開

f(x)=x3 (-L < x < L)
f(x)は奇関数なので、an=0となって、フーリエ正弦級数の式が適用できる。

従って、L=1のときのf(x)=x3のフーリエ級数展開は次式で表される。

また、ここでx=1/2とすると、

であるから、上記のε(s)で、s=3の場合に相当し、

を得る。

続いて、パーセバルの等式より、

であるから、ゼータ関数:ζ(s)で、s=6の場合の特殊値:

を得る。




f(x)x4のフーリエ級数展開

f(x)=x4 (-L < x < L)
f(x)は偶関数なので、bn=0となって、フーリエ余弦級数の式が適用できる。

また、n=0のとき、

従って、L=1のときのf(x)=x4のフーリエ級数展開は次式で表される。

ここで、x=0のとき、

であるから、イータ関数:η(s)で、s=4とした場合に相当し、

という式が得られる。また、x=1のとき、

であるから、ゼータ関数:ζ(s)で、s=4とした場合、即ち、

が導かれる(再掲)。

続いて、パーセバルの等式より、

であるから、ゼータ関数:ζ(s)で、s=8の場合の特殊値:

を得る。




まとめ

f(x) x=0のとき x=1/2のとき x=1のとき パーセバル
(Parseval)の等式
sgnx(矩形波)   ε(1)=π/4   λ(2)=π2/8
x(鋸歯状波)   ε(1)=π/4   ζ(2)=π2/6
|x|(三角波) λ(2)=π2/8   λ(2)=π2/8 λ(4)=π4/96
x2 η(2)=π2/12   ζ(2)=π2/6 ζ(4)=π4/90
x3   ε(3)=π3/32   ζ(6)=π6/945
x4 η(4)=7π4/720   ζ(4)=π4/90 ζ(8)=π8/9450




参考文献

  1. 「フーリエ解析I キャンパス・ゼミ」(マセマ、2007年)
  2. 「オイラーの贈物―人類の至宝e=-1を学ぶ」(東海大学出版会、2010年)



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