冪乗和の公式(ファウルハーバーの公式)

高等学校の数列の単元で、3乗までの冪乗和の公式が登場する。
これらは、同様の導出手順を用いれば、より高次の冪乗に対しても適用できるが、
「ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式」で登場した、
ベルヌーイ多項式を用いることで、より簡潔に一般式を表示できる。
さらに、数式処理ソフト「Maxima」において、それらを表示させるコマンドを記す。


ベルヌーイ多項式を使わずに導出する方法

高等学校の数列の単元で登場した、冪乗和の公式を

と一般化して定義する。
0乗の場合は、n個の1の和であるから、

であり、1乗の場合は、自然数の和であるが、

の様に、敢えて複雑化させた計算手順を経る。

何故なら、同様の手順を経ることにより、2乗の和が

と計算できる。3乗の和に関しても同様に、

と計算できる。高等学校の数列の単元では、3乗の和までであるが、
より高次の冪乗に関しても、同様の手順で導出できる。




ベルヌーイ多項式を使って導出する方法

ベルヌーイ多項式の母関数において、Bn(x)を
Bn(x+1)に変更した式と 元のBn(x)との関係式から、

という、Bp+1(x+1)と Bp+1(x)との関係式を得る。この等式:

において、x=1からxnまでの総和をとると、

を得る。

この冪乗和の公式:

は、発見者の名に因んでファウルハーバー(Faulhaber)の公式とも呼ばれる。
この公式に基づいて計算すると、0乗和:

に始まって、1乗和:

に続いて、2乗和:

及び、3乗和:

が得られる。個々のベルヌーイ多項式に関しては、
「ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式」の記事を参照のこと。




高次の冪乗和

「ベルヌーイ多項式を使わずに導出する方法」及び
「ベルヌーイ多項式を使って導出する方法」をこれまで述べてきた。
両者とも同様の手順を経ることで、

といった、より高次の冪乗和の導出が可能である。
改めて、具体的な高次の冪乗和の公式をまとめて以下に示す。




数式処理ソフト「Maxima」における
冪乗和の公式(ファウルハーバーの公式)

数式 コマンド
冪乗和S0 factor(expand((bernpoly(n+1,1)-bernpoly(1,1))/1));
冪乗和S1 factor(expand((bernpoly(n+1,2)-bernpoly(1,2))/2));
冪乗和S2 factor(expand((bernpoly(n+1,3)-bernpoly(1,3))/3));
冪乗和S3 factor(expand((bernpoly(n+1,4)-bernpoly(1,4))/4));
冪乗和S4 factor(expand((bernpoly(n+1,5)-bernpoly(1,5))/5));
冪乗和S5 factor(expand((bernpoly(n+1,6)-bernpoly(1,6))/6));
冪乗和S6 factor(expand((bernpoly(n+1,7)-bernpoly(1,7))/7));
冪乗和S7 factor(expand((bernpoly(n+1,8)-bernpoly(1,8))/8));

式を整理するため、敢えて一度式を展開してから、因数分解している。
なお、ヤコブ・ベルヌーイ(Jacob Bernoulli)は、自著「Ars Conjectandi」において、
1から1000までの10乗の和を正確に「91409924241424243424241924242500」
と求めているが、これはわざわざ
(bernpoly(1001,11)-bernpoly(1,11))/11;
としなくても、
sum(x^10,x,1,1000);
とすれば求められる。但し、この方法で、冪乗和の公式(ファウルハーバーの公式)を
導出しようとしても、総和記号を用いた形式で表される為、うまくいかない。


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