チェビシェフ多項式

チェビシェフ多項式(Chebyshev polynomial)は、
エルミート多項式(Hermite polynomial)と同様、
スツルムリウビル型微分方程式の一つである、
チェビシェフの微分方程式を満たす多項式のことをいう。
また、これは三角関数におけるn倍角の公式を
多項式の形で表現したものだともいえる。
特に、第1種チェビシェフ多項式T_n(x)は、
そのミニマックス性により、関数近似に用いられる。

第1種チェビシェフ多項式

第1種チェビシェフ多項式T_n(x)は、
x＝cos θ ⇔ θ＝arccos x
としたとき、
T_n(cos θ)＝cos nθ ⇔ T_n(x)＝cos (n arccos x)
で定義される。但し、xの定義よりその定義域は、
－1 ≤ cos θ ≤ 1 ⇔ －1 ≤ x ≤ 1
の範囲に制限される。この定義より明らかに、n＝0のとき、
T₀(x)＝1
であり、n＝1のとき、
T₁(x)＝x
である。また、加法定理：
cos (nθ ± θ) ＝cos nθ cos θ ∓ sin nθ
が成り立つ(複号同順)。この両式の辺々の和をとると、
cos (nθ＋θ)＋cos (nθ－θ) ＝2cos nθ cos θ
となるから、これをチェビシェフ多項式の形で表せば、
T_n＋1(x) ＝2xT_n(x) －T_n－1(x)
という漸化式が得られる。最初の2つの項は既に求めてあるので、
この式を用いて、順に以下の多項式を得る。

これをグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
（勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。）

set terminal png set xrange[-1.1:1.1] set yrange[-1.1:1.1] set xtics 0.1 set ytics 0.1 set grid plot 1 replot x replot 2*x**2-1 replot 4*x**3-3*x replot 8*x**4-8*x**2+1 set output 'c:\temp\chebyshevgraph.png' replot 16*x**5-20*x**3+5*x exit

この方法により生成したグラフを以下に示す。
このグラフからは、－1以上1以下のxの定義域において、
最大値が1、最小値が－1に揃っていることが分かる。
この性質のことをミニマックス性といい、関数近似に用いられる。

チェビシェフの微分方程式の導出

まず、第1種チェビシェフ多項式T_n(x)の両辺を
xで微分し、その1階導関数を求めると、

となり、ここで

を代入すると、1階導関数は、

となる。ここで、

と置き、これをxで微分すると、

となるから、これを用いて、2階導関数：

が求められる。ここで、微分方程式の係数を

と置き、各々を代入して、cos(n arccosx)及び、
sin(n arccosx)に関して、係数を比較すると、

という条件をa, b, cは満たさなければならないことが分かる。
ここでは単純に比をとって、

と置けばよい。従って、チェビシェフの微分方程式：

が得られる。さらに、両辺にw(x)を掛けて、

とする。ここで、

より、

であることを考えると、

という形で書くことも出来る。
これは、スツルムリウビル型微分方程式：

において、

と置いた場合に他ならない。