ベータ関数・ガンマ関数・ゼータ関数・イータ関数
(β関数・Γ関数・ζ関数・η関数)

特殊関数の中には、ギリシャ文字のアルファベットを自身の名前に冠するものがある。
例えば、代表的なものには、ベータ関数(β 関数)や、
階乗の拡張であるガンマ関数(Γ 関数)がある。
他にもリーマンのゼータ関数(ζ 関数)や、
その交代級数版のディリクレのイータ関数(η 関数)、また、ここでは挙げなかったが、
超函数であるディラックのデルタ関数(δ 関数)等が存在する(次表)。
ベータ関数
(β 関数)
第1種オイラー積分
ガンマ関数
(Γ 関数)
第2種オイラー積分 階乗の拡張
デルタ関数
(δ 関数)
ディラックのデルタ超函数
(Dirac's delta distribution)
超函数
ゼータ関数
(ζ 関数)
リーマンのゼータ関数
(Riemann's zeta function)
自然数の逆数の冪乗和
イータ関数
(η 関数)
ディリクレのイータ関数
(Dirichlet's eta function)
ゼータ関数の交代級数版
これらのうち、ベータ関数やゼータ関数は、ガンマ関数で表すことが出来るし、
ゼータ関数とイータ関数の関係を用いれば、負ゼータ関数ζ(1-s)の特殊値が求められる。



ガンマ関数―階乗の拡張―

最初に、積分:

を考える。次に、

という積分を考える。積の微分公式より、部分積分の式:

が得られるので、これを用いて、

と次々に、計算出来る。

以上より、

であるから、これを繰り返すと、

が示せる。ここで、a=1のとき、

となるので、

と置く。これをガンマ関数(Γ関数)と呼ぶ。

即ち、ガンマ関数は階乗の拡張であるとみなすことができる。
但し、xは自然数のみならず、
実数・複素数の領域まで拡張することが出来る。
この定義より明らかに、ガンマ関数は、
Γ(x+1)=xΓ(x)
を満たす。特に自然数nに対して、
Γ(n)=(n-1) !
⇔Γ(n+1)=n !
が成り立つ。但し、左辺と右辺で変数が1だけずれていることには注意を要する。
また、変数を複素数の領域まで拡張することが出来ることを強調する意味で、

と書くこともある。

これをグラフ作成ツール「gnuplot」を用いて、グラフ化する。
「gnuplot」を起動して、以下のコマンドを入力し、グラフを生成する。
但し、標本点の数は、各自の必要に応じて変更しても構わない。
(勿論、出力先のディレクトリは、各自の環境に応じて適宜変更する。)

set terminal png
set xrange[-5:5]
set yrange[-5:5]
set xtics 0.5
set ytics 0.5
set grid
set sample 1024
set output 'c:\temp\gammafunc.png'
plot gamma(x)
exit

この方法により生成したグラフを以下に示す。




ベータ関数

多くのテキストでは、一般的に

をベータ関数の定義としているようである(定義1)。ここで、

と置くと、

t 0→1
x ∞→0

と置き換えられるので、

と変形出来る。テキストの中には、

をベータ関数の定義としているものもある(定義2)。

また、定義1で

t ≡ cos2θ
1-t=sin2θ
dt=-2sinθcosθ
と置くと、
t 0→1
θ π/2→0

と置き換えられるので、

と変形出来る。従って、ベータ関数は

と定義することも出来る(定義3)。

ところで、定義1において、

t ≡ 1-s
1-ts
dt=-ds
と置くと、
t 0→1
s 1→0

と置き換えられるので、

であるから、

が成立し、pqが可換であることが分かる。




ベータ関数とガンマ関数の関係

ガンマ関数:

において、
tu2dt=2du
と置くと、

と表せる。この表現形式を用いて、

を考え、両者の積をとると、

ここで、

と変数変換すると、ヤコビアンは、

であるから、
dudvrdr
となるので、rθを分離すると、
θに関する積分は、ベータ関数の定義3に他ならないから、

の様に変形出来る。従って、ベータ関数とガンマ関数の間には、関係式:

が成立する。




ゼータ関数

まず、自然数の逆数の冪乗和:

を考える。これを総和記号を用いて、

という関数として定義する。これをゼータ関数(ζ 関数)と呼ぶ。
ゼータ関数の発見者はオイラーだが、
リーマンが変数sを複素数にまで拡張したので、
リーマンのゼータ関数(Riemann's zeta function)とも呼ばれる。
ゼータ関数は、変数sが正の偶数の場合は、
その特殊値が求められ、例えば

となることが分かっている。
これらは、フーリエ級数展開やパーセバルの等式により示される。
導出過程は、「フーリエ級数展開とパーセバルの等式」の記事を参照のこと。

また、オイラーはゼータ関数と素数の関係を総積記号を用いて、

と表せることを示した。これは自然数の素因数分解の一意性による。
何故なら、総積記号の中身をテイラー展開すると、
これは無限等比級数の和の逆に他ならないから、

であり、従って右辺は

と書き直せる。ここで例えば、s=1の場合を考えると、

という項は、最初の括弧からは第4項を、2番目の括弧からは第3項を、
3番目の括弧からは第2項を選び、その他の括弧からは全部1を選んで掛ければよい。




ゼータ関数とガンマ関数の関係

ゼータ関数とガンマ関数の変数をともにsとして、両者の積を考える。

ここで、

tnx
dtndx
と置くと、

と変形出来る。ここで、無限等比級数の和を考えて、

と書き直す。なお、最後の変形は分母分子にそれぞれ、exを掛けた。
これを代入して、最終的に

の形を得る。ここで、最後に両辺をΓ(s)で割れば、

の様に、ゼータ関数をガンマ関数を用いて定義することが出来る。

この表示形式を用いれば、

が得られる。
※Γ(2)ζ(2)は、ボース・アインシュタイン分布関数を積分する際に使う。
※Γ(4)ζ(4)は、黒体輻射のプランクの式から、
ステファン・ボルツマンの法則を導出する際に使う。




イータ関数―ゼータ関数の交代級数版―

ゼータ関数:

は、自然数の逆数の冪乗和であるが、これに対応する形で、
次の様にその偶数項の符号を負にした交代級数η(s):

を定義する。これをイータ関数(η 関数)、より正確には、
ディリクレのイータ関数(Dirichlet's eta function)と呼ぶ。
イータ関数とゼータ関数の間には、

という関係があることが分かるので、この関係式:

を用いて計算すれば、

が得られる。これとは逆に、イータ関数の値が分かっていれば、
それを用いて、ゼータ関数の値を計算することが出来る。
これは、特に負ゼータ関数ζ(1-s)の特殊値を計算する際に重要となる。




イータ関数とガンマ関数の関係

また、

において、

と置くと、

と変形出来る。変数xyに変わっただけなので、

と変数をyからxに戻すことが出来て、

と計算出来る。ここで、最後に両辺をガンマ関数で割れば、

の様に、イータ関数もガンマ関数を用いて定義することが出来る。
この表示形式を用いて、イータ関数の値を代入すれば、

が得られる。
※Γ(2)η(2)は、フェルミ・ディラック分布関数を積分する際に使う。




負ゼータ関数ζ(1-s)の特殊値

まず、初項a,公比rの無限等比級数を考えると、その和Sは、

で表されるが、ここで、a=1,rxとして、S0

及び、そのn階微分:

を定義する。n=1,2,3の場合を計算すると、

を得る。同様に右辺も計算すると、

次に、S2は、これを2で割ってから、(1+x)を掛ける。
続いて、S3も同様に、 3!で割ってから、(1+4xx2)を掛ける。
次にここまでで導出したものをまとめておく。

勿論この際、公比xは、前提条件:|x| < 1を満たさなければならないのだが、
ここでは、敢えて自らその禁を破ってx=-1を代入してみる。すると、

の様に、イータ関数を用いて表すことが出来る。
従って、イータ関数とゼータ関数の関係より、
負ゼータ関数ζ(1-s)の特殊値:

が得られる。
ζ(-3)は、カシミール効果において、繰り込みの計算をする際に使う。




Shadow Academy トップへ戻る

inserted by FC2 system