ベルヌーイ数の応用―ゼータ関数―

「ベータ関数・ガンマ関数・ゼータ関数・イータ関数 (β関数・Γ関数・ζ関数・η関数)」
において、登場したゼータ関数であるが、やはりこれも
「ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式」で定義した、
ベルヌーイ数を用いることで、より簡潔に表示できる。
さらに、偶数ゼータ関数と負ゼータ関数の関係式を導出し、双対性の式を導出する。
また、ここでは、最後に数式処理ソフト「Maxima」において、
ベルヌーイ数やベルヌーイ多項式、及びゼータ関数を表示させるコマンドを記す。


三角関数の無限乗積展開

本題に入る前に、準備として、三角関数の無限乗積展開について述べる。
正弦関数のテイラー展開の意義は、無限級数の和を総和記号で表すことにあった。
では、正弦関数を因数分解して、無限乗積を総積記号で表したらどうなるであろうか。
正弦関数には、

という性質があるから、係数をαとして、

と因数分解出来ると仮定する。ところで、この係数αは、
テイラー展開におけるxの一次の項の係数が1なので、係数比較により、

であるから、

となる。ここでは、後の計算の為に、xの代わりにπxを代入して、

としておく。




ベルヌーイ数とゼータ関数の関係

総積記号から総和記号へ変換する為に、両辺の対数をとると、

となる。ここで、

の関係を用いた。
次に、対数関数を消去する為に、両辺をxで微分すると、

となる。続いて、両辺をx倍し、

を得る。

また、「ベルヌーイ数の応用―テイラー展開―」で述べた、
f(x)=cotxのテイラー展開の式において、
両辺をx倍した上で、xπxに置き換えると、

となるので、ここで先程得られた結果とこの式とを比較すると、
変数sが正の偶数のゼータ関数の特殊値:ζ(2s)は、ベルヌーイ数を用いて、

と表すことが出来る。この式に従って計算すると、

を得る。これは確かに、
「フーリエ級数展開とパーセバルの等式」
求めた結果に一致する。
また、ζ(0)もこの式で計算出来る。

また、負ゼータ関数の特殊値:ζ(1-s)も、ベルヌーイ数を用いて、

と表すことが出来る。これも式に従って計算すると、

を得る。これも確かに、正しい結果を出力している。
このことは、数式処理ソフト「Maxima」で調べられる。
ちなみに、ζ(0)の計算に用いたB1は、
「定義1」のベルヌーイ数の方に等しい。




双対性

偶数ゼータ関数の式:

において、sを2sに置き換えた負ゼータ関数の式:

を代入すると、両者の関係式:

を得る。両辺に、

を掛けて、整理すると、

となる。ここで、2sを改めてsと置くと、

を得る。この等式は、sが奇数の場合に対しても成り立つ。

次に、倍数公式(「ガンマ関数の応用」参照):

において、s≡2xと置いた式:

を代入すると、

と変形できる。

続いて、相反公式(「ガンマ関数の応用」参照):

において、

と置くと、

となる。従って、

を得る。さらに、πの指数部を

と分解して整理すると、双対性(duality)の式:

を得る。要するに、ガンマ関数に補ってもらうことで、
ゼータ関数の対称性は完全になるのである。




数式処理ソフト「Maxima」における
ベルヌーイ数・ベルヌーイ多項式・ゼータ関数

数式 コマンド 具体例 備考
ベルヌーイ数:Bn bern(n);

bern(0);
bern(1);
bern(2);
bern(3);
bern(4);
bern(5);
bern(6);
bern(7);
bern(8);
nには数字が入る。
このサイトの定義では、「定義1」の
ベルヌーイ数に相当する。
ベルヌーイ多項式のコマンドで、
bernpoly(0,n);としても、
同様の結果を得る。「定義2」の
ベルヌーイ数が必要ならば、
bernpoly(1,n);とすればよい。
ベルヌーイ多項式:Bn(x) bernpoly(x,n);

bernpoly(x,0);
bernpoly(x,1);
bernpoly(x,2);
bernpoly(y,3);
bernpoly(y,4);
bernpoly(y,5);
bernpoly(z,6);
bernpoly(z,7);
bernpoly(z,8);
bernpoly(0,1);
bernpoly(1,1);
nには数字が入る。
xは、xに関する多項式という意味。
xを他の文字にすれば、
その文字に関する多項式になる。
bernpoly(0,n);とすれば、
「定義1」のベルヌーイ数が得られ、
bernpoly(1,n);とすれば、
「定義2」のベルヌーイ数が得られる。
偶数ゼータ関数の
特殊値:ζ(2s)
zeta(n);

zeta(0);
zeta(2);
zeta(4);
zeta(6);
zeta(8);
nには数字が入る。
但し、nを奇数にした場合、
適切な出力は得られない。
負ゼータ関数の
特殊値:ζ(1-s)
zeta(n);

zeta(0);
zeta(-1);
zeta(-2);
zeta(-3);
zeta(-4);
zeta(-5);
zeta(-6);
zeta(-7);
nには数字が入る。


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